Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

01/10/2017

Chương 3:

Hàm khả vi

§1. Khái niệm

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Khái niệm
§2. Đạo hàm cấp cao

§3. Công thức Taylor
LOG
O

§4. Ứng dụng

I. Đạo hàm cấp một:

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên
khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của
hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được
tính bởi

f ( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

2

Trong định nghĩa trên, nếu đặt
x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0.
y  f ( x)  f ( x0 )
 f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0.
Khi đó
f ( x0 )  lim

x 0

nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được
gọi là khả vi tại x0.
3

Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số

tại x0  0.

 ln(1  x 2 )
khi x  0

f ( x)  
x
0
khi x  0


Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
f ( x)  f ( x0 )

f ( x0 )  lim
x  x0
x  x0

y
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
x  0
x
x
f ( x0  h)  f ( x0 )
 lim
h 0
h
4

Định lý 1.5



f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L

Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
f ( x)  x
tại x0  0.

Định lý 1.6.
f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0.

Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)

f ( x0 )  lim
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0
5

6

1

01/10/2017

Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số

e ( x  x ) khi x  0
f ( x)  
khi x  0
m
x

2

khả vi tại x0  0.

II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:

2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.
2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có
( k .u )  k .u
(u  v)  u  v

(u.v)  u.v  u.v

Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số

3x 2  5 khi x  1
f ( x)  
ax  b khi x  1
có đạo hàm tại x0  1.
7

 u  u.v  u.v
  
v2
v

2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó
 x
y( x)  yu .u
8

Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y  arctan x

2
b) y  (arcsin x )
1 x
c) y 
1 x

Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là

d) y  e arctan e  ln 1  e
x

e) y  ( x 2  1) x

III. Vi phân cấp một:

x

hay

2x

df ( x)  f ( x) dx

dy  ydx

Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số y  e x .

3

f) y  (1  x ) 2  x 2 3 3  x3
9

Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì
1) d (u  v)  du  dv.
2) d (k .u)  k .du.
3) d (u.v)  vdu  udv.

2

10

IV. Ứng dụng của vi phân:

Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.
Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x

 u  vdu  udv
4) d   
.
v2
v

Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),
điểm x0 và số gia x đủ nhỏ.

Ví dụ 1.7. Tính gần đúng giá trị của
3

11

2,0001.
12

2

01/10/2017

§2. Đạo hàm cấp cao

I. Đạo hàm cấp cao:
Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)
là
y  f ( x)   f ( x) 
Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là

y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x) 



13

Ví dụ 2.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng
minh xy  2( y  sin x )  xy  0.
Ví dụ 2.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng
minh y 3 y  1  0.
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó

Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
kx
ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const.
14

II. Vi phân cấp cao:
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là



k
(u.v )( n )   Cn u ( k )v ( nk )
n

Ví dụ 2.4. Tính y



d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n

k 0

(20)

của hàm số
y  x 2e 2 x .
15

16

I. Công thức khai triển Taylor:

§3. Công thức Taylor

Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1
trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor
(khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 là

f ( x )  f ( x0 ) 

f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
1!
2!
n!
f ( n 1) (c )

( x  x0 ) n 1
( n  1)!

trong đó c là một số nằm giữa x và x0.
Rn ( x) 

17

f ( n1) (c )
( x  x0 ) n1 : Phần dư Lagrange bậc n.
(n  1)!





Rn ( x)  o ( x  x0 ) n : Phần dư Peano bậc n.
18

3

01/10/2017

II. Công thức khai triển Maclaurin:

Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm x0  0 :
f ( x )  f (0) 

hay

f (0)
f (0) 2
f (0) n f
(c ) n1
x
x  ... 
x 
x
1!
2!
n!
(n  1)!

f ( x)  f (0) 

(n)

( n1)

f (0)
f (0) 2
f ( n) (0) n
x
x  ... 
x  o( x n )
1!
2!
n!

III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp:

Xem Bảng 3.
Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n:
Cách 1: Tính f (0), f (0),..., f ( n ) (0) rồi thế vào công thức.
Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi
biến. Chú ý: đặt w  g ( x) sao cho x  0  w  0.
Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 :
Cách 1: Tính f ( x0 ), f ( x0 ),..., f ( n ) ( x0 ) rồi thế vào công thức
Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi
biến. Chú ý: đặt w  x  x0 .

19

Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
1
f ( x)  2
.
x  2x  8

Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến
cấp n.

20

Ví dụ 3.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số
sau đến số hạng chứa x 4
a ) f ( x)  e 2 x

b) f ( x)  cos 2 x
1
c) f ( x ) 
3 x
d ) f ( x)  ln(1  3 x)

Ví dụ 3.3. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau
đến cấp 3.
a) f ( x)  e x tại x0  2.
b) f ( x ) 

1
tại x0  3.
x

21

§4. Ứng dụng

22

I. Quy tắc L’Hospital:
Định lý 4.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong
lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu
i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay
x  x0

thì
23

x  x0

lim f ( x)  lim g ( x)  
x  x0
f ( x) x x0
và lim
tồn tại
x  x0 g ( x )
lim

x  x0

f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x ) x x0 g ( x)
24

4

01/10/2017

Chú ý 4.2.
 Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc
L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định

0

hoặc .
0


 Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital
nhiều lần.

II. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:

Dạng 0

0

Ví dụ 4.1. Tính các giới hạn sau
x2  5x  6
x 2 x  x 2  x  2
sin x
c) lim
x 0
x
a )lim

e)lim
x 0

25

Dạng 



Ví dụ 4.2. Tính các giới hạn sau
3x 2  2 x
a ) lim
x  x 2  1

x2  x
b) lim x
x  e  3

c) lim

d ) lim

ln 2 x
x  x 3

x 

0
0

Dạng 0.

.


f
1
g
f .g (0.)  
g
1
f

Ví dụ 4.3. Tính các giới hạn sau



b) lim  x   .tan x
 
2
x

a ) lim x.ln x
x 0

27

Dạng   


0
Ta đưa về dạng
hoặc .

0

Chú ý:

 
f 
 f 1  
g
 
  f

f  g   g   1
g
 


 f .g  1  1 



g f 

29

x

26

Ta đưa về dạng hoặc
Chú ý:

2  4  x2

x2  9  3
e 1
d )lim 3
x 0 x
ln(cos x)
f )lim
x 0 arctan 2 x  2 x 2
x 0

x  sin x
x3

x

1  x2

b)lim

3

2

28

Ví dụ 4.4. Tính các giới hạn sau
1 
 1
a )lim 


x 1  ln x
x 1

c )lim
x 0

b) lim (e x  x 2 )
x 

1  1
1
 

t an2x  sin x x 

30

5