Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu

Đăng ngày | Thể loại: | Lần tải: 0 | Lần xem: 0 | Page: 8 | FileSize: M | File type: PDF
of x

Bài giảng Giải tích: Chương 3 - Phan Trung Hiếu. Bài giảng Giải tích: Chương 3 Hàm khả vi của Phan Trung Hiếu biên soạn kết cấu gồm có 4 bài được trình bày như sau: Khái niệm, đạo hàm cấp cao, công thức Taylor, ứng dụng. Mời các bạn cùng tham khảo!. Cũng như các tài liệu khác được thành viên chia sẽ hoặc do sưu tầm lại và chia sẽ lại cho các bạn với mục đích nâng cao trí thức , chúng tôi không thu tiền từ người dùng ,nếu phát hiện tài liệu phi phạm bản quyền hoặc vi phạm pháp luật xin thông báo cho website ,Ngoài giáo án bài giảng này, bạn có thể download đồ án thạc sĩ tiến sĩ phục vụ tham khảo Một ít tài liệu tải về lỗi font chữ không xem được, thì do máy tính bạn không hỗ trợ font củ, bạn tải các font .vntime củ về cài sẽ xem được.

https://tailieumienphi.vn/doc/bai-giang-giai-tich-chuong-3-phan-trung-hieu-1ksbuq.html

Nội dung


01/10/2017

Chương 3:

Hàm khả vi

§1. Khái niệm

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Khái niệm
§2. Đạo hàm cấp cao

§3. Công thức Taylor
LOG
O

§4. Ứng dụng

I. Đạo hàm cấp một:

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định trên
khoảng mở chứa x0. Đạo hàm (cấp một) của
hàm số f(x) tại x0, ký hiệu y( x0 )  f ( x0 ) , được
tính bởi

f ( x0 )  lim

x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0

2

Trong định nghĩa trên, nếu đặt
x  x  x0 : Số gia của biến số tại x0.
y  f ( x)  f ( x0 )
 f ( x0  x)  f ( x0 ): Số gia của hàm số tại x0.
Khi đó
f ( x0 )  lim

x 0

nếu giới hạn tồn tại hữu hạn.
Chú ý 1.2. Nếu f ( x0 ) tồn tại thì f(x) được
gọi là khả vi tại x0.
3

Ví dụ 1.1: Tìm đạo hàm của hàm số

tại x0  0.

 ln(1  x 2 )
khi x  0

f ( x)  
x
0
khi x  0


Định nghĩa 1.3 (Đạo hàm bên trái)
f ( x)  f ( x0 )

f ( x0 )  lim
x  x0
x  x0

y
f ( x0  x)  f ( x0 )
 lim
x  0
x
x
f ( x0  h)  f ( x0 )
 lim
h 0
h
4

Định lý 1.5



f ( x0 )  L    f ( x0 )  f ( x0 )  L

Ví dụ 1.2: Xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số
f ( x)  x
tại x0  0.

Định lý 1.6.
f(x) có đạo hàm tại x0  f(x) liên tục tại x0.

Định nghĩa 1.4 (Đạo hàm bên phải)

f ( x0 )  lim
x  x0

f ( x)  f ( x0 )
x  x0
5

6

1

01/10/2017

Ví dụ 1.3: Tìm m để hàm số

e ( x  x ) khi x  0
f ( x)  
khi x  0
m
x

2

khả vi tại x0  0.

II. Các công thức và quy tắc tính đạo hàm:

2.1. Các công thức tính đạo hàm: Xem Bảng 2.
2.2. Quy tắc tính đạo hàm: Với u  u ( x ), v  v ( x) , ta có
( k .u )  k .u
(u  v)  u  v

(u.v)  u.v  u.v

Ví dụ 1.4: Tìm a, b để hàm số

3x 2  5 khi x  1
f ( x)  
ax  b khi x  1
có đạo hàm tại x0  1.
7

 u  u.v  u.v
  
v2
v

2.3. Đạo hàm của hàm số hợp:
Xét hàm số hợp f(x)=y[u(x)]. Khi đó
 x
y( x)  yu .u
8

Ví dụ 1.5: Tính đạo hàm của các hàm số sau
a) y  arctan x

2
b) y  (arcsin x )
1 x
c) y 
1 x

Vi phân (cấp một) của hàm số f(x) là

d) y  e arctan e  ln 1  e
x

e) y  ( x 2  1) x

III. Vi phân cấp một:

x

hay

2x

df ( x)  f ( x) dx

dy  ydx

Ví dụ 1.6. Tìm vi phân của hàm số y  e x .

3

f) y  (1  x ) 2  x 2 3 3  x3
9

Định lý 2.3. Nếu u, v là các hàm khả vi thì
1) d (u  v)  du  dv.
2) d (k .u)  k .du.
3) d (u.v)  vdu  udv.

2

10

IV. Ứng dụng của vi phân:

Dùng vi phân, ta có thể tính gần đúng giá trị của hàm số.
Ta có giá trị của hàm số tại x gần x0 là
f ( x0  x)  f ( x0 )  f ( x0 ).x

 u  vdu  udv
4) d   
.
v2
v

Để áp dụng công thức trên ta cần chỉ ra dạng hàm f(x),
điểm x0 và số gia x đủ nhỏ.

Ví dụ 1.7. Tính gần đúng giá trị của
3

11

2,0001.
12

2

01/10/2017

§2. Đạo hàm cấp cao

I. Đạo hàm cấp cao:
Định nghĩa 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm cấp
một y thì đạo hàm cấp hai của hàm số y=f(x)

y  f ( x)   f ( x) 
Tương tự, ta có đạo hàm cấp n của f(x) là

y ( n )  f ( n ) ( x)   f ( n1) ( x) 



13

Ví dụ 2.2. Cho hàm số y  x sin x. Chứng
minh xy  2( y  sin x )  xy  0.
Ví dụ 2.3. Cho hàm số y  2 x  x 2 . Chứng
minh y 3 y  1  0.
Định lý 1.2 (Công thức Leibniz). Giả sử u và
v có đạo hàm đến cấp n. Khi đó

Ví dụ 2.1. Tính đạo hàm cấp một, cấp hai, cấp
kx
ba, cấp bốn, cấp n của hàm số y  e , k  const.
14

II. Vi phân cấp cao:
Định nghĩa 2.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến
cấp n thì vi phân cấp n của hàm số y=f(x) là



k
(u.v )( n )   Cn u ( k )v ( nk )
n

Ví dụ 2.4. Tính y



d n y  d d n1 y  y ( n ) dx n

k 0

(20)

của hàm số
y  x 2e 2 x .
15

16

I. Công thức khai triển Taylor:

§3. Công thức Taylor

Định lý 1.1. Giả sử y=f(x) có đạo hàm đến cấp n+1
trên khoảng mở chứa x0. Khi đó, công thức Taylor
(khai triển Taylor) cấp n của f(x) tại x0 là

f ( x )  f ( x0 ) 

f ( x0 )
f ( x0 )
f ( n ) ( x0 )
( x  x0 ) 
( x  x0 ) 2  ... 
( x  x0 ) n
1!
2!
n!
f ( n 1) (c )

( x  x0 ) n 1
( n  1)!

trong đó c là một số nằm giữa x và x0.
Rn ( x) 

17

f ( n1) (c )
( x  x0 ) n1 : Phần dư Lagrange bậc n.
(n  1)!





Rn ( x)  o ( x  x0 ) n : Phần dư Peano bậc n.
18

3

01/10/2017

II. Công thức khai triển Maclaurin:

Là khai triển Taylor của hàm f(x) tại điểm x0  0 :
f ( x )  f (0) 

hay

f (0)
f (0) 2
f (0) n f
(c ) n1
x
x  ... 
x 
x
1!
2!
n!
(n  1)!

f ( x)  f (0) 

(n)

( n1)

f (0)
f (0) 2
f ( n) (0) n
x
x  ... 
x  o( x n )
1!
2!
n!

III. Khai triển Maclaurin của một số hàm sơ cấp:

Xem Bảng 3.
Cách tìm khai triển Maclaurin đến cấp n:
Cách 1: Tính f (0), f (0),..., f ( n ) (0) rồi thế vào công thức.
Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi
biến. Chú ý: đặt w  g ( x) sao cho x  0  w  0.
Cách tìm khai triển Taylor đến cấp n tại x = x0 :
Cách 1: Tính f ( x0 ), f ( x0 ),..., f ( n ) ( x0 ) rồi thế vào công thức
Cách 2: Dựa vào các khai triển có sẵn ở Bảng 3 và đổi
biến. Chú ý: đặt w  x  x0 .

19

Ví dụ 3.1. Tính đạo hàm cấp n của hàm số
1
f ( x)  2
.
x  2x  8

Từ đó, suy ra khai triển Maclaurin của hàm số f(x) đến
cấp n.

20

Ví dụ 3.2. Tìm khai triển Maclaurin của các hàm số
sau đến số hạng chứa x 4
a ) f ( x)  e 2 x

b) f ( x)  cos 2 x
1
c) f ( x ) 
3 x
d ) f ( x)  ln(1  3 x)

Ví dụ 3.3. Tìm khai triển Taylor của các hàm số sau
đến cấp 3.
a) f ( x)  e x tại x0  2.
b) f ( x ) 

1
tại x0  3.
x

21

§4. Ứng dụng

22

I. Quy tắc L’Hospital:
Định lý 4.1. Giả sử các hàm f và g khả vi trong
lân cận nào đó của x0 (hoặc có thể trừ x0). Nếu
i) lim f ( x)  lim g ( x)  0 hay
x  x0

thì
23

x  x0

lim f ( x)  lim g ( x)  
x  x0
f ( x) x x0
và lim
tồn tại
x  x0 g ( x )
lim

x  x0

f ( x)
f ( x)
 lim
g ( x ) x x0 g ( x)
24

4

01/10/2017

Chú ý 4.2.
 Khi tính giới hạn hàm số, quy tắc
L’Hospital chỉ dùng để khử dạng vô định

0

hoặc .
0


 Ta có thể áp dụng quy tắc L’Hospital
nhiều lần.

II. Áp dụng quy tắc L’Hospital để tính giới hạn:

Dạng 0

0

Ví dụ 4.1. Tính các giới hạn sau
x2  5x  6
x 2 x  x 2  x  2
sin x
c) lim
x 0
x
a )lim

e)lim
x 0

25

Dạng 



Ví dụ 4.2. Tính các giới hạn sau
3x 2  2 x
a ) lim
x  x 2  1

x2  x
b) lim x
x  e  3

c) lim

d ) lim

ln 2 x
x  x 3

x 

0
0

Dạng 0.

.


f
1
g
f .g (0.)  
g
1
f

Ví dụ 4.3. Tính các giới hạn sau



b) lim  x   .tan x
 
2
x

a ) lim x.ln x
x 0

27

Dạng   


0
Ta đưa về dạng
hoặc .

0

Chú ý:

 
f 
 f 1  
g
 
  f

f  g   g   1
g
 


 f .g  1  1 



g f 

29

x

26

Ta đưa về dạng hoặc
Chú ý:

2  4  x2

x2  9  3
e 1
d )lim 3
x 0 x
ln(cos x)
f )lim
x 0 arctan 2 x  2 x 2
x 0

x  sin x
x3

x

1  x2

b)lim

3

2

28

Ví dụ 4.4. Tính các giới hạn sau
1 
 1
a )lim 


x 1  ln x
x 1

c )lim
x 0

b) lim (e x  x 2 )
x 

1  1
1
 

t an2x  sin x x 

30

5

1121507