Bài giảng Giải tích: Chương 2 - Phan Trung Hiếu

9/17/2017

Chương 2:

GIẢI TÍCH

Hàm liên tục

GV. Phan Trung Hiếu

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Khái niệm
§2. Tính chất của hàm liên tục

60 tiết
LOG
O

LOG
O

I. Hàm số liên tục tại một điểm:

§1. Khái niệm

Định nghĩa 1.1. Cho hàm số f(x) xác định
trong một khoảng chứa x0. Ta nói:
(i) f(x) liên tục bên trái tại x0 nếu

lim f ( x)  f ( x0 ).


x  x0

(ii) f(x) liên tục bên phải tại x0 nếu

lim f ( x)  f ( x0 ).


x  x0

3

(iii) f(x) liên tục tại x0 nếu
lim f ( x)  f ( x0 ).
x  x0

Nói cách khác, f(x) liên tục tại x0 nếu thỏa 3 điều
sau:
 f(x) xác định tại x0.
 lim f ( x) tồn tại.
x  x0

 lim f ( x )  f ( x0 ).

4

Hàm số f(x) không liên tục tại x0 thì được gọi là gián
đoạn tại x0 nếu xảy ra một trong các điều sau:
 f(x) không xác định tại x0.
 f(x) xác định tại x0, nhưng
lim f ( x) không tồn tại
x  x0
hoặc
lim f ( x) không tồn tại
hoặc

x  x0

lim f ( x)  lim f ( x).



x  x0

x  x0

 f(x) xác định tại x0,lim f ( x) tồn tại, nhưng

x  x0

x  x0

lim f ( x)  f ( x0 ).

x  x0
5

6

1

9/17/2017

Định lý 1.2. Nếu f và g liên tục tại x0 thì
f  g , f .g ,

f
( g  0) cũng liên tục tại x0.
g

Ví dụ 1.1: Xét tính liên tục của các hàm số sau
 sin 3x
khi x  0

a) f ( x)   x
tại
3
khi x  0


x2 1

b) f ( x )   x 2

2
2 x  3

c) f ( x)  1
 x2  3


khi x  1

khi x  1

x0  0.

tại x0  1.

khi x  0

khi x  0 tại
khi x  0

Ví dụ 1.2: Tìm m để hàm số
3
 ex 1
khi x  0

a) f ( x)   ln(1  x 2 )
liên tục tại x0  0.

1  m2
khi x  0


e x
b) f ( x)  
x  m

khi x  0

x0  0.

7

8

II. Hàm số liên tục trên một khoảng, đoạn:

Định nghĩa 2.1. Hàm số f(x) liên tục trên (a,b)
khi và chỉ khi f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc
(a,b).
Định nghĩa 2.2:



f(x) liên tục trên [a,b]   xlim f ( x)  f (a)
a

 xlim f ( x)  f (b)
b

Chú ý 2.3: Hàm f(x) liên tục trên [a,b] có đồ
thị là một đường liền nét (không đứt khúc)
trên đoạn đó.

f(x) liên tục trên (a,b)




a

§2. Tính chất của hàm số liên tục

a

b

b

Không liên tục

Liên tục

9

10

Định lý 2.4: Hàm đa thức, hàm mũ, hàm phân
thức hữu tỷ (thương của hai đa thức) và các
hàm lượng giác y=sinx, y=cosx, y=tanx,
y=cotx liên tục trên tập xác định của chúng.
Định lý 2.5: Hàm số liên tục trên một đoạn thì
đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên đoạn đó.
Định lý 2.6:

f(x) liên tục trên [a,b]

f (a ). f (b)  0

11

liên tục tại x0  0.

khi x  0

 c  (a, b) : f (c)  0.
12

2