Bài giảng Giải tích: Chương 1 - Phan Trung Hiếu

9/10/2017

GIẢI TÍCH
GV. Phan Trung Hiếu

60 tiết
LOG
O

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

-Điểm cộng vào bài kiểm giữa kỳ:
1 lần xung phong lên bảng làm đúng 1
câu:+0,5 điểm (nếu làm sai thì không
trừ điểm).
Chỉ được cộng tối đa 2 điểm.

Kiểm tra, đánh giá kết quả:

-Điểm chuyên cần (hệ số 0.1):
Dự lớp đầy đủ: 10 điểm.
Vắng 1 ngày hoặc đi trễ 2 ngày: trừ 1
điểm.
Chỉ được vắng 1 ngày có phép.
-Bài kiểm tra giữa kì (hệ số 0.3):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
-Bài kiểm tra cuối kì (hệ số 0.6):
Tự luận, không được sử dụng tài liệu.
2

Điểm cộng, trừ giờ bài tập:

-Điểm trừ vào bài kiểm giữa kỳ:
Khi SV đã được +2 điểm mà vẫn tự ý lên làm
bài: -0,5 điểm/lần.
Khi không có SV xung phong lên làm thì GV
sẽ gọi 1 SV lên làm theo danh sách thứ tự từ
trên xuống:
-Nếu SV làm đúng thì +0,5 điểm/lần,
-Nếu làm sai hoặc không biết làm thì -0,5
điểm/lần.

3

Tải bài giảng và xem thông tin môn học:

sites.google.com/site/sgupth

5

4

Nội dung:

Chương
Chương
Chương
Chương
Chương
Chương
Chương

1:
2:
3:
4:
5:
6:
7:

Giới hạn.
Hàm liên tục.
Hàm khả vi.
Nguyên hàm.
Tích phân xác định.
Tích phân suy rộng.
Lý thuyết chuỗi.
6

1

9/10/2017

Tài liệu học tập:

[1] Bài giảng trên lớp.
[2] Nguyễn Đình Trí, Toán cao cấp tập 2
Phép tính giải tích hàm một biến, NXB Giáo
dục.
[3] Nguyễn Đình Trí, Bài tập Toán cao cấp
(tập 2), NXB Giáo dục.
Các tài liệu tham khảo khác.

Dụng cụ hỗ trợ học tập:

Máy tính FX 500MS, FX 570MS,
FX 570ES, FX 570ES Plus.

7

8

Chương 1:

Giới hạn

GV. Phan Trung Hiếu

§1. Giới hạn của dãy số
§2. Giới hạn của hàm số

§1. Giới hạn của dãy số

§3. Phương pháp tính giới hạn của hàm số
LOG
O

I. Các định nghĩa về dãy số thực:

Định nghĩa 1.1. Dãy số thực (dãy số) là ánh xạ

f : *  

n  f (n)  xn .

Kí hiệu: {xn }  {x1 , x2 ,..., xn ,...}, trong đó:
x1 , x2 ,..., xn ,... là các số hạng,

xn là số hạng tổng quát của dãy số.

Nhận xét 1.2. Dãy số hoàn toàn xác định khi
biết số hạng tổng quát của nó.
11

10

Ví dụ 1.1: Dãy số { xn }, với xn 
Khi đó

1
.
n 1

1
1
1
x1  , x2  , x3  ,...
3
2
4
1
.
Ví dụ 1.2: Dãy số { xn }, với xn 
n! n
Khi đó

1
1
1
x3  , x4  , x5 
,...
3
20
115
12

2

9/10/2017

Ví dụ 1.3: Dãy số { xn }, với
Khi đó

xn  1  2  3  ...  n.

x1  1,

x2  1  2  3,

x3  1  2  3  6,...

Ví dụ 1.4: Dãy số { xn }, với

1 
1 
1 

xn   1  2 1  2  ...1  2 
 2  3   n 

Khi đó

1 3
 ,
22 4
1 
1 2

x3  1  2 1  2   ,...
 2  3  3

x2  1 

13

Ví dụ 1.5: Dãy số { xn }, với
Khi đó

 x1  1

 xn1  xn  2

x1  1,

x2  x1  2  1,

x3  x2  2  3,...

14

Định nghĩa 1.3

▪ Dãy số {xn} được gọi là dãy tăng nếu

xn  xn 1 , n  *.

▪ Dãy số {xn} được gọi là dãy giảm nếu
xn  xn 1 , n  *.

▪ Một dãy số tăng (hay giảm) được gọi là dãy
đơn điệu.

15

16

Ví dụ 1.6:

Định nghĩa 1.4

b) Dãy số {xn}, với xn 

M   : xn  M , n  *.
▪ Dãy số {xn} được gọi là bị chặn dưới nếu

a) Dãy số {xn}, với xn  2n là dãy tăng.

1
là dãy giảm.
n

c) Dãy số {xn}, với xn  (1) n là dãy không
tăng, không giảm (không đơn điệu).

17

▪ Dãy số {xn} được gọi là bị chặn trên nếu

m   : xn  m, n  * .
▪ Dãy số {xn} được gọi là bị chặn nếu {xn} bị
chặn trên và bị chặn dưới.

 Nhận xét 1.5. Dãy số {xn} được gọi là bị chặn
nếu
M  0 : xn  M , n  * .
18

3

9/10/2017

Ví dụ 1.7:
1
a) Dãy số {xn}, với xn 
là dãy bị chặn dưới

n

bởi số 0 và bị chặn trên bởi số 1.
b) Dãy số {xn}, với xn  n 2 là dãy bị chặn dưới
bởi số 1, nhưng không bị chặn trên, nó không bị
chặn.
c) Dãy số {xn}, với xn  (1) n sin n là dãy bị
*
chặn vì xn  1, n   .
d) Dãy số {xn}, với xn  ( n) n1 là dãy không
bị chặn trên và cũng không bị chặn dưới.

Định nghĩa 1.6

Số a   được gọi là giới hạn của dãy số {xn} nếu

  0, n0   : xn  a   , n  n0 .

n
Ký hiệu lim xn  a hay xn  a.

n

Chú ý 1.7:

-Nếu a là một con số hữu hạn thì ta nói dãy {xn}
hội tụ đến a.
-Nếu a không tồn tại hoặc a   thì ta nói dãy
{xn} phân kỳ.

19

Ví dụ 1.8:
a) lim

n

n 1
 1.
n

b) lim

n

20

n 1 1
 .
2n  1 2


(1) n 
d) lim  2 
  2.
n
n 


1
c) lim n  0.
n 2

e) lim(1) không tồn tại.
n

n

21

5) lim n a  1, a  0.
n

 1
7) lim 1    e.
n 
n

8) lim xn  a  lim( xn  a )  0.
n 

n

n

2) lim

n

3) lim

n

1
 0,   0.
n
1

n

 0,   1.

0
khi
4) lim a n  
n
 khi

a  1,

a  1.

22

Định lý 2.1

n

n

1) lim k  k ( k  ).

II. Các phép toán về giới hạn của dãy số:

n 

6) lim n n  1.

Một số kết quả giới hạn cần nhớ:

n

9) lim xn  0  lim xn  0.
23

▪Nếu một dãy số có giới hạn thì giới hạn đó là
duy nhất.
▪Nếu một dãy số hội tụ thì nó bị chặn.
▪Nếu một dãy số tăng và bị chặn trên thì nó hội
tụ.
▪ Nếu một dãy số giảm và bị chặn dưới thì nó hội
tụ.
24

4

9/10/2017

Định lý 2.2. Nếu các dãy số {xn} và {yn} đều
có giới hạn thì

i) lim( xn  yn )  lim xn  lim yn
n

n

n

lim xn

n

xn n

(lim yn  0).
n y
lim yn n
n

iii ) lim

Cho 3 dãy số {xn}, {yn}, {zn}. Nếu

n

ii ) lim( xn . yn )  lim xn .lim yn
n

Định lý 2.3 (Định lý kẹp):

thì

 yn  xn  zn , n  * ,

 lim y  lim z  a
n n n n

lim xn  a.

n

n

25

26

 ()  ()  ,

Chú ý 2.4:
1) Một vài quy tắc với  :
 a  ( )  ( )  a  ,

a  ()  ()  a  ,
, a  0,
a.( )  ( ).a  
, a  0,

,
a.( )  ( ).a  
,

a  0,
a  0.

27



a
 :
0

a > 0 và mẫu > 0
a < 0 và mẫu < 0
a > 0 và mẫu < 0
a < 0 và mẫu > 0

29

().()  ().()  ,
()  ()  ,
( ).()  ().( )  .

 n  * , ta có ( ) n  ,



 neáu n chaün,
()n  
 neáu n leû.

a
 0.
 

28

 ,
 ,
 ,
 .

2) Trong tính toán về giới hạn, có khi ta gặp
các dạng sau đây gọi là dạng vô định:

0 
, , 0.,   .
0 

Khi đó, ta không thể dùng định lý 2.2, mà phải
dùng các phép biến đổi để khử các dạng vô
định đó.

30

5