Xem mẫu
- PHẦN II. ĐỘNG HỌC
Động học nghiên cứu các tính chất hình học của chuyển động vật thể mà không
quan tâm đến nguyên nhân gây ra chuyển động (lực tác dụng và khối lượng).
Đối tượng khảo sát của động học là động điểm (chất điểm chuyển động) và vật
rắn.
Nội dung khảo sát chuyển động của vật thể gồm các vấn đề chính:
- Lập phương trình chuyển động.
- Xác định các đặc trưng của chuyển động (vận tốc, gia tốc).
- Tìm quan hệ giữa vận tốc, gia tốc của điểm thuộc vật, với chuyển động của
vật.
Kết quả nghiên cứu trong phần động học sẽ được ứng dụng để phát triển ở phần
Động lực học và các học phần Nguyên lý máy, Thiết kế máy, Cơ học kết cấu, ...
Chương 6.
ĐỘNG HỌC CỦA CHẤT ĐIỂM
A. MỤC TIÊU
- Hiểu được các phương pháp thiết lập phương trình chuyển động và các đại
lượng đặc trưng của động học.
- Nhớ các công thức xác định các đại lượng đặc trưng của chuyển động và mối
quan hệ giữa chúng để giải các bài toán kỹ thuật.
B. NỘI DUNG
6.1. Khái niệm về động học chất điểm
6.1.1. Nhiệm vụ của động học chất điểm
Động học chất điểm nghiên cứu hai vấn đề chính:
- Thiết lập phương trình chuyển động của chất điểm.
- Tìm các đặc trưng động học của chất điểm (vận tốc và gia tốc).
6.1.2. Các khái niệm
Chuyển động của chất điểm là sự thay đổi vị trí của nó trong không gian và theo
thời gian so với một vật được chọn trước gọi là hệ qui chiếu.
Hệ qui chiếu là vật mốc để so sánh vị trí của chất điểm khảo sát thường được
chọn là một hệ trục toạ độ.
57
- Tập hợp các vị trí của chất điểm trong không gian qui chiếu đã chọn gọi là quĩ
đạo của chất điểm trong hệ qui chiếu đó.
Khi đối tượng nghiên cứu có kích thước quá nhỏ so với quỹ đạo của nó, hoặc
không cần chú ý tới, thì coi là chất điểm chuyển động (động điểm)
Ta có chuyển động thẳng hay chuyển động cong là tùy thuộc quĩ đạo của chất
điểm là đường thẳng hay đường cong.
6.1.3. Các phương pháp khảo sát động học chất điểm
Có nhiều phương pháp để khảo sát chuyển động của chất điểm, nhưng có ba
phương pháp thường sử dụng là: phương pháp vector, phương pháp tọa độ Descartes
và phương pháp tọa độ tự nhiên.
6.2. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp vector
6.2.1. Phương trình chuyển động của chất điểm
z
M
r
x
0 y
Hình 6.1. Vector định vị của chất điểm M
Khảo sát chất điểm M trong hệ quy chiếu cố định Oxyz. Tại mỗi thời điểm, vị trí
uuuur r
của điểm M được xác định bởi vector định vị O M = r . Khi M chuyển động thì vector
r
r biến thiên cả hướng, độ dài và nó là hàm của thời gian t:
r r
r = r (t ) (6.1)
Biểu thức (6.1) là phương trình chuyển động của chất điểm dưới dạng vector và
đồng thời cũng là phương trình quỹ đạo của điểm M trong hệ Oxyz.
6.2.2. Vận tốc chuyển động của chất điểm
r
uur ∆ r uur
Gọi vận tốc trung bình của điểm trong khoảng thời gian Δt là: v tb = , v tb mô
∆t
tả gần đúng hướng đi và độ nhanh chậm của chuyển động.
58
- z M v
M1
r r
v tb
r1
x
0 y
Hình 6.2. Xác định vận tốc chuyển động của chất điểm
uur r
()
Khi Δt → 0, v tb sẽ tiến đến vận tốc tức thời v của điểm M tại thời điểm t:
r r
r uur ∆ r d r r&
v = lim v tb = lim = =r (6.2)
∆t → 0 ∆t → 0 ∆ t dt
Vậy: Vận tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
r
vector định vị r .
Đơn vị đo vận tốc: m/s hay km/h.
Phương của vận tốc của điểm luôn cùng phương với tiếp tuyến của quỹ đạo
chuyển động.
6.2.3. Gia tốc chuyển động của chất điểm
z
M v
v M1
v1 v1
w
x
0 y
Hình 6.3. Xác định gia tốc chuyển động của chất điểm
Gia tốc của điểm là một đại lượng vector đặc trưng cho sự biến đổi vận tốc theo
thời gian.
r
Tại thời điểm t, động điểm M có vận tốc là v . Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt,
ur r r
động điểm M có vận tốc là: v1 = v + ∆ v .
59
- r ur r
Sau khoảng thời gian: Δt = t1 – t vận tốc biến đổi: ∆ v = v1 − v (H. 6.3). Gia tốc
r
uur ∆v
trung bình của động điểm trong khoảng thời gian Δt là: w tb =
∆t .
uuur ur
( )
Khi Δt → 0, w tb sẽ tiến đến gia tốc tức thời w của điểm M tại thời điểm t:
r r
uur uuur ∆ v d v r& &&r
w = lim w tb = lim = =v =r (6.3)
∆t → 0 ∆t → 0 ∆ t dt
Vậy: Gia tốc của điểm tại thời điểm t bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian của
r r
vận tốc v hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của vector định vị r .
2 2
Đơn vị đo gia tốc: m/s hay km/h .
* Chú ý:
r uur
1) Về mặt hình học: vector ∆ v , w luôn hướng về phần lõm của quỹ đạo đường
cong.
r uur
2) Tính chất chuyển động: Căn cứ vào tích v.w có thể xác định tính chất chuyển
r uur r r
động: nếu động điểm chuyển động nhanh dần thì v tăng, do đó v 2 = v.v tăng, từ đó
uur
d v2 uur r
suy ra = 2.w v > 0.
dt
Kết quả:
uur r
w .v > 0 ⇒ động điểm chuyển động nhanh dần.
uur r
w .v < 0 ⇒ động điểm chuyển động chậm dần.
uur r
w .v = 0 ⇒ động điểm chuyển động đều.
6.3. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ Descartes
6.3.1. Phương trình chuyển động của chất điểm
Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes Oxyz được xác định bởi các
tọa độ x, y và z. Khi điểm M chuyển động thì các tham số x, y, z biến đổi liên tục theo
thời gian t. Cho nên:
x = x (t )
y = y (t ) (6.4)
z = z (t )
Phương trình (6.4) là phương trình của động điểm trong hệ tọa độ Descartes.
60
- z
M
r
k
0 j y
i
x
Hình 6.4. Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ Descartes
Khi khử biến số thời gian t trong các phương trình chuyển động, ta có phương
trình quỹ đạo.
6.3.2. Vận tốc chuyển động của chất điểm
r r r
Gọi i, j, k là các vector đơn vị của ba trục x, y, z và hình chiếu của vector vận
tốc lên ba trục tọa độ lần lượt là vx, vy, vz. Ta có liên hệ:
r r r r
r = xi + y j + z k (6.5)
r r r r
r d r d ( x i + y j + z k ) dx r dy r dz r
Mặt khác: v = = = i+ j+ k (6.6)
dt dt dt dt dt
Chiếu biểu thức (6.6) lên ba trục tọa độ ta có:
dx dy dz
vX = = x& ; v y = = y& ; vz = = z& (6.7)
dt dt dt
Vậy: Hình chiếu của vector vận tốc lên một trục tọa độ nào đó bằng đạo hàm bậc
nhất theo thời gian của tọa độ tương ứng.
r
Ta cũng dễ dàng xác định được độ lớn cũng như hướng của vector vận tốc v theo
các hình chiếu vx, vy, vz:
v = vX2 + v y2 + vz2 = x& 2 + y& 2 + z& 2 (6.8)
r
Gọi α, β, γ là góc hợp giữa v với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có:
vx
cos α = v
vy
cos β = (6.9)
v
vz
cos γ = v
61
- 6.3.3. Gia tốc chuyển động của chất điểm
Hoàn toàn tương tự như xác định vận tốc. Gọi hình chiếu của vector gia tốc lên
r r
ur d v d 2 r
các trục tọa độ là wx, wy, wz và dựa vào kết quả của phần trước: w = = ta có
dt dt 2
được:
dv x d 2x
x
w = = 2
= &&
x
dt dt
dv y d2y
y
w = = 2
= &&
y (6.10)
dt dt
dv z d 2z
w z = dt = dt 2 = && z
Vậy: Hình chiếu véctơ gia tốc lên một trục tọa độ bằng đạo hàm bậc nhất theo
thời gian của hình chiếu vận tốc lên trục đó hay bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian
của phương trình động theo trục tương ứng.
Trị số của vector gia tốc được xác định theo công thức:
w = w X2 + w 2y + w 2z = &&
x 2 + &&
y 2 + &&
z2 (6.11)
uur
Gọi α1, β1, γ1 là góc hợp giữa w với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz, ta có:
wx
cos α1 = w
wy
cos β1 = (6.12)
w
wz
cos γ 1 = w
r uur
* Chú ý: Căn cứ vào tích: v.w = x& .x+y.y+z.z
&& & && & && ta xác định tính chất chuyển
động, kết quả cụ thể:
uur r
w .v > 0 ⇒ động điểm chuyển động nhanh dần.
uur r
w .v < 0 ⇒ động điểm chuyển động chậm dần.
uur r
w .v = 0 ⇒ động điểm chuyển động đều.
6.4. Khảo sát động học chất điểm bằng phương pháp tọa độ tự nhiên
Phương pháp tọa độ tự nhiên dùng để nghiên cứu chuyển động của điểm khi biết
đường cong quỹ đạo của nó.
Hệ trục có ba trục:
62
- r
+ Trục tiếp tuyến (trục τ): hướng theo chiều dương với véctơ đơn vị τ .
+ Trục pháp tuyến chính (trục n): nằm trong mặt phẳng đường cong và hướng
r
về phía lõm đường cong với véctơ đơn vị n .
r
+ Trục trùng pháp tuyến (trục b): có véctơ đơn vị b, tạo với trục τ và trục n
r r r
thành một tam diện thuận (b = τ ^ n )
6.4.1. Phương trình chuyển động của chất điểm
n
r n
b M
b
Hình 6.5. Vị trí của động điểm M trong hệ tọa độ tự nhên
Hệ trục tọa độ tự nhiên: trên đường cong phẳng chọn gốc O và chiều dương
đường cong như hình 6.5.
¼
Vị trí điểm M được xác định bằng cung O M = s (s được gọi là tọa độ cong hay
hoành độ cong của điểm M như hình 6.6). Khi điểm M chuyển động thì tọa độ cong s
biến thiên theo thời gian:
s = s(t) (6.13)
Phương trình (4.13) là phương trình chuyển động của chất điểm M trong hệ tọa
độ tự nhiên.
* Chú ý: tọa độ cong s có thể dương hoặc âm tùy vào chiều chuyển động.
6.4.2. Vận tốc của chất điểm
Để xác định vận tốc của điểm ta dựa vào sự biến thiên của tọa độ cong s.
Giả sử ở thời điểm t, động điểm ở M được xác định bởi tọa độ cong OM = s.
Tại thời điểm lân cận: t1 = t + Δt, động điểm ở tại M1 có tọa độ cong OM1 = s1 = s
+ Δs.
∆s
Vận tốc trung bình trong khoảng thời gian Δt: v tb = .
∆t
r
( )
Khi Δt → 0, vtb sẽ tiến đến vận tốc tức thời v của điểm M tại thời điểm t:
63
- ∆ s ds
v = lim v tb = lim = = s& (6.14)
∆t → 0 ∆t → 0 ∆t dt
Vậy: Giá trị vận tốc tại thời điểm t nào đó bằng đạo hàm bậc nhất theo thời gian
của tọa độ cong s trên quỹ đạo.
1
M
M1
O
Hình 6.6. Biến thiên tọa độ cong s theo thời gian
r
Phương chiều vector vận tốc v luôn hướng theo tiếp tuyến của đường cong quỹ
đạo tại M, do đó chiều của vector phụ thuộc vào dấu của giá trị v = s& :
r
+ Nếu v = s& > 0 : v hướng theo chiều dương quỹ đạo
r
+ Nếu v = s& < 0 : v hướng theo chiều âm quỹ đạo
r ur
Nên: v = s&.τ (6.15)
6.4.3. Gia tốc của chất điểm
r r r
uur d v d ( s&.τ ) ds& r dτ
Ta có: w = = = τ + s&. (6.16)
dt dt dt dt
r r
dτ n
Mà trong hệ tọa độ tự nhiên, Xerơ – Frênê đã chứng minh được: =
ds ρ
Trong đó: ρ là bán kính cong của đường cong tại điểm M.
r r r
dτ ds d τ n
Nên: = = s&
dt dt ds ρ
r r
uur ds& r dτ r n r s& 2 r r v2 r r r
Do đó: w = τ + s&. = &&
sτ + s&.( s& ) = &&
sτ + n = &&
sτ + n = wττ + w n n
dt dt ρ ρ ρ
dv v2
Với: w τ = &&
s= = v& ; w n = (6.17)
dt ρ
Vậy: Gia tốc của điểm trong hệ tọa độ tự nhiên bao gồm hai thành phần tiếp
tuyến và pháp tuyến chính:
64
- dv
+ w τ = &&
s= = v& : gọi là gia tốc tiếp, nằm trên tiếp tuyến của quỹ đạo, đặc
dt
trưng cho sự biến đổi vận tốc theo thời gian.
v2
+ wn = : gọi là gia tốc pháp, luôn nằm trên pháp tuyến chính của quỹ đạo,
ρ
đặc trưng cho sự thay đổi phương của vận tốc.
uur uuur uuur uuur uuur
Vì: w = w τ + w n và w τ ⊥ w n nên:
w = w τ2 + w 2n (6.18)
6.4.4. Các dạng chuyển động đặc biệt của chất điểm
a) Chuyển động đều
Chuyển động đều là chuyển động có vận tốc là hằng số (v = const, wτ = 0 ).
Phương trình chuyển động đều:
s = so + vt (6.19)
Trong đó: s0 là tọa độ ban đầu (t = 0).
b) Chuyển động biến đổi đều
Chuyển động biến đổi đều là chuyển động có gia tốc tiếp không đổi ( wτ =
const). Vận tốc và đoạn đường được xác định bởi công thức:
v = v 0 + w τ t;
1 (6.20)
s = s 0 + v 0 t + 2 w τ t
2
Trong đó:
+ s0 là tọa độ ban đầu (t = 0).
+ v0 là vận tốc ban đầu (t = 0).
+ wτ > 0 khi chuyển động là nhanh dần đều.
+ wτ < 0 khi chuyển động là chậm dần đều.
6.5. Bài toán động học của chất điểm
6.5.1. Các loại bài toán
Ta có hai loại bài toán động học của chất điểm:
- Bài toán 1: Biết phương trình chuyển động. Tìm các đặc trưng chuyển động
như: quĩ đạo, vận tốc, gia tốc, tính chất chuyển động của chất điểm?
65
- - Bài toán 2: Biết một số điều kiện của chuyển động. Tìm phương trình chuyển
động và các đặc trưng chuyển động?
6.5.2. Phương pháp giải bài toán
Khi giải bài toán cần chú ý một số nội dung sau:
1) Chọn phương pháp để giải:
- Phương pháp vector dùng để nghiên cứu lý thuyết bài toán chuyển động.
- Để giải cụ thể bài toán chuyển động ta sử dụng hai phương pháp: toạ độ
Descartes và toạ độ tự nhiên. Phương pháp toạ độ tự nhiên được dùng khi ta biết quỹ
đạo của chất điểm.
2) Tìm phương trình chuyển động:
Căn cứ vào các điều kiện chuyển động của chất điểm để thiết lập phương trình.
3) Tìm quĩ đạo:
Các phương trình chuyển động đã cho là những phương trình tham số. Để xác
định phương trình quĩ đạo ta cần khử t và thiết lập quan hệ giữa các toạ độ.
* Chú ý: Đối với phương trình dạng lượng giác để khử t ta thường dùng các
công thức của lượng giác như: sin 2 α + cos 2 α = 1 .
4) Tìm vận tốc và gia tốc:
Tùy theo phương pháp phù hợp ta dùng công thức tương ứng để tính.
5) Tìm tính chất của chuyển động:
Để xác định tính chất một chuyển động cụ thể ta căn cứ vào dấu hiệu là tích vô
r uur
hướng: v.w
- Trong toạ độ Descartes: v.w = x&.&x& + y& .&y& + z&.&z&
- Trong toạ độ tự nhiên: v.w = v.wτ
Ta có tính chất chuyển động của các dạng chuyển động trong bảng Tính chất
chuyển động của các dạng chuyển động.
6) Tìm bán kính cong của quĩ đạo:
v2 v2
Theo công thức: w n = à ρ=
ρ wn
66
- Bảng 6.1. Tính chất chuyển động của các dạng chuyển động
Dạng quĩ đạo chuyển động Tính
chất
Dấu hiệu
Thẳng Cong chuyển
động
→ → Nhanh
v.w > 0
dần
(00 < α < 900 )
→ → Chậm
v.w < 0
dần
(900 < α < 1800 )
→ →
v.w = 0 Đều
(α = 90 )
0
Ví dụ 6.1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm:
x = 3t 2
(x,y: m, t: s).
y = 4 t − 1
2
Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc và tính chất của chuyển động?
Bài giải:
- Xác định quỹ đạo:
Ta có:
x = 3t
2
(a )
y = 4 t − 1
2
(b)
x
Từ (a) ⇒ t 2 = (c)
3
x
Thay (c) vào (b), ta được: y = 4. − 1 ⇔ 3 y − 4 x − 3 = 0
3
67
- Vậy quỹ đạo của chất điểm là đường thẳng có phương trình: 3 y − 4 x − 3 = 0
- Xác định vận tốc:
v x = x& = 6 t
⇒v= v x 2 + v y 2 = 10 t (m/s)
v y = y& = 8 t
- Xác định gia tốc:
w x = &&
x=6
⇒ w = w x 2 + w y 2 = 10 (m/s2)
w y = &&
y=8
- Tính chất chuyển động:
r ur
&&& + yy
v .w = xx &&& = 6 t .6 + 8t.8 = 100t > 0
Mà w =10 (m/s2) = const
Nên chất điểm chuyển động nhanh dần đều.
Ví dụ 6.2. Một viên đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật:
x = v 0 tc os α (a)
gt 2 (x, y: m, t: s).
y = − + v 0 t sin α (b )
2
Với vo là vận tốc ban đầu của viên đạn; α là góc bắn hợp với phương ngang của
viên đạn. Tìm:
a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn?
b) Độ cao và tầm xa mà viên đạn đạt được? Với góc α bằng bao nhiêu thì độ cao
và tầm xa đạt giá trị cực đại?
Bài giải:
y
Hmax
vy v
vx
0 1/2.L max L max x
Hình 6.7. Minh họa cho ví dụ 6.2
a) Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn
- Xác định quỹ đạo:
68
- x
Rút t từ (a) ta được: t = (c)
v 0 c os α
Thay (c) vào (b):
x
g( )2
v0cosα x g
y=− + v0 sin α = − 2 2 x 2 + ( tan α ) x
2 v0cosα 2v0 cos α
g
Vậy quỹ đạo là một parabol có phường trình: y = − x 2 + ( tan α ) x
2v0 cos2α
2
- Xác định vận tốc:
v x = x& = v 0 c os α
v y = y& = − gt + v 0 sin α
⇒ v= vx2 + v y 2 = ( v 0 c os α ) 2 + ( − gt + v 0 sin α ) 2 (m/s)
- Xác định gia tốc:
w x = &&
x=0
⇒ w = w x 2 + w y 2 = g (m/s2)
w y = &&
y = −g
Gia tốc luôn có chiều ngược chiều với Oy và có độ lớn w = g (g là gia tốc trọng
trường).
b) Xác định độ cao, tầm xa, α
- Xác định độ cao:
v 0 sin α
Viên đạn đạt độ cao khi v y = y& = − gt + v 0 sin α = 0 ⇒ t =
g
v 0 sin α
Nghĩa là thời điểm để viên đạn đạt độ cao khi t =
g
v 0 sin α
Thay t = vào (b) ta được độ cao:
g
2
g v sin α v0 sin α v0 2 sin 2 α
H=y=− 0 + v0 sin α =
2 g g 2g
- Xác định tầm xa:
gt 2 2 v 0 sin α
Viên đạn đạt tầm xa khi y = − + v 0 t sin α = 0 ⇒ t =
2 g
2 v 0 sin α
Nghĩa là thời điểm để viên đạn đạt tầm xa khi t =
g
69
- 2 v 0 sin α
Thay t = vào (a) ta được tầm xa:
g
2v0 sin α v 2 sin 2α
L = x = v0 cosα = 0
g g
- Xác định α để độ cao đạt giá trị cực đại:
g v0 sin α 2 v sin α v 2 sin 2 α
Như đã giải ở trên ta có độ cao: H = y = − ( ) + v0 0 sin α = 0
2 g g 2g
Độ cao H đạt giá trị cực đại Hmax khi: sin 2 α = 1 ⇒ α = 900
- Xác định α để tầm xa đạt giá trị cực đại:
2v0 sin α v 2 sin 2α
Như đã giải ở trên ta có tầm xa: L = x = v0 cosα = 0
g g
Tầm xa L đạt giá trị cực đại Lmax khi:
sin 2α = 1 ⇒ α = 450
v0 2 sin 2 α v 2 sin 2α
Vậy: H = ; L= 0 ; α = 900 ; α = 450 .
2g g
C. CÂU HỎI ÔN TẬP
1. Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm
bằng phương pháp vector.
2. Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm
bằng phương pháp tọa độ Descartes.
3. Viết phương trình chuyển động, công thức tính vận tốc và gia tốc của chất điểm
bằng phương pháp tọa độ tự nhiên.
4. Một số chuyển động đặc biệt.
D. BÀI TẬP ÔN TẬP
Bài tập 1: Cho phương trình chuyển động của chất điểm:
x = t 2 − 2 x = 2 sin t
a. b. (x,y: m, t: s).
y = 2 t y = 2 cos t
2
Xác định quỹ đạo, vận tốc, gia tốc và tính chất của mỗi chuyển động trên?
Bài tập 2: Một viên đạn bay trong mặt phẳng Oxy với quy luật:
70
- x = v 0 tc os α (a)
gt 2 (x, y: m, t: s).
y = − + v 0 t sin α (b )
2
Với vo = 5m/s là vận tốc ban đầu của viên đạn; α là góc bắn hợp với phương ngang của
viên đạn. Tìm:
a) Quỹ đạo, vận tốc, gia tốc của viên đạn?
b) Độ cao và tầm xa mà viên đạn đạt được? Với góc α bằng bao nhiêu thì độ cao và
tầm xa đạt giá trị cực đại?
71
- Chương 7.
CHUYỂN ĐỘNG CƠ BẢN CỦA VẬT RẮN
A. MỤC TIÊU
- Giúp sinh viên nắm vững những tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến, các
đặc trưng của vật quay quanh trục cố định
- Giúp sinh viên hoàn thiện kĩ năng sử dụng các công thức liên hệ đặc trưng
chuyển động của vật và điểm thuộc vật để giải các bài toán chuyển động.
B. NỘI DUNG
7.1. Chuyển động tịnh tiến của vật rắn
7.1.1. Định nghĩa
Định nghĩa: Chuyển động tịnh tiến của vật rắn là chuyển động sao cho hai điểm
bất kỳ thuộc vật luôn luôn chuyển động song song với chính nó.
Ví dụ: Toa tàu hỏa đang chuyển động trên đường ray, trong quá trình chuyển
động ta luôn có đoạn thẳng AB // A1B1 // Δ (H. 7.1). Thanh AB chuyển động nhờ cơ
cấu bốn khâu, trong quá trình chuyển động ta luôn có thanh AB // A1B1 // Δ (H. 7.2).
A B
A A1
B1 O1
B O
A1 B1
Hình 7.1. Chuyển động của toa tàu Hình 7.2. Chuyển động của Cơ cấu bốn khâu
7.1.2. Tính chất cơ bản của chuyển động tịnh tiến
Định lý: Trong chuyển động tịnh tiến của vật rắn, mọi điểm thuộc vật sẽ chuyển
động giống hệt nhau, nghĩa là quỹ đạo của mọi điểm trùng khít lên nhau, tại mỗi thời
điểm vận tốc và gia tốc các điểm đều bằng nhau.
Chứng minh: Xét đoạn thẳng AB thuộc vật rắn đang chuyển động tịnh tiến trong
hệ quy chiếu Oxyz (H. 7.3). Theo định nghĩa chuyển động tịnh tiến ta có AB // A1B1 //
uuur
… // AnBn (tức là AB = const).
uur uur uuur
Theo hình 7.3, ta có: rA = rB + AB (7.1)
Lần lượt đạo hàm bậc nhất và bậc hai hàm biểu thức (7.1) theo thời gian ta được:
72
- ur ur uuur
d rA d rB d AB uur uur
= + ⇔ v A = vB
dt dt dt
ur ur
d 2 rA d 2 rB uuur uuur
= ⇔ wA = wB
dt 2 dt 2 Hình
I
II
B k
B1
Bk n
rB Bn
(CA)
A
O rA A1
Ak
An
(CB)
Hình 7.3. Vật rắn AB chuyển động tịnh tiến
Nhận xét:
+ Nghiên cứu vật rắn chuyển động tịnh tiến thì ta chỉ cần nghiên cứu một điểm
bất kỳ thuộc vật. Vận tốc, gia tốc của điểm đó gọi vận tốc và gia tốc của vật.
+ Nếu một vật rắn chuyển động tịnh tiến thì ta có thể xem là một chất điểm
chuyển động.
7.2. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định
7.2.1. Định nghĩa
Định nghĩa: Vật rắn chuyển động quay quanh một trục là chuyển động mà trong
suốt quá trình chuyển động luôn có hai điểm cố định.
Ví dụ: Cách cửa quay quanh trục đi qua hai bản lề (H. 7.4). Tấm phẳng quay
quanh trục AB (H. 7.5).
Hình 7.4. Cánh cửa quay quanh bản lề Hình 7.5. Tấm phẳng quay quanh trục AB
73
- 7.2.2. Khảo sát chuyển động toàn vật
7.2.2.1. Phương trình chuyển động
Giả sử vật rắn quay quanh trục Oz (H. 7.6). Tại thời điểm t, ta chọn mặt phẳng
(P0) làm mặt phẳng gốc, đồng thời gắn vào vật mặt phẳng (P) chứa trục quay. Khi vật
quay mặt phẳng (P) cũng quay theo và vị trí của nó xác định vị trí của vật. Góc hợp
bởi hai mặt phẳng (P0) và (P) là φ. Khi vật quay góc φ luôn biến đổi theo thời gian:
φ = φ(t) (7.2)
Biểu thức (7.2) là phương trình chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố
định.
z
P0
P1
0
(P0)
(P1)
Hình 7.6. Chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định
Qui ước dấu: Để xác định chiều quay của vật, ta quy ước:
+ φ > 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay ngược chiều kim
đồng hồ.
+ φ < 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay cùng chiều kim
đồng hồ.
Đơn vị của góc quay φ là radian (rad). (rad là góc phẳng chắn trên đường tròn
3600
một cung bằng bán kính). 1 rad = = 570 17’ 44,8”.
2π
* Chú ý: Trong kỹ thuật góc quay ϕ còn được tính theo số vòng quay N
74
- ϕ
N= (7.3)
2π
7.2.2.2. Vận tốc góc (ω)
Trong chuyển động quay, góc φ là một hàm số phụ thuộc vào thời gian. Để đặc
trưng cho chiều quay và tốc độ nhanh chậm của chuyển động, người ta dùng khái niệm
vận tốc góc ω.
Giả sử trong khoảng thời gian Δt = t1 - t, góc quay biến đổi một lượng Δφ = φ1 -
φ.
∆ϕ
Ta gọi: ω tb = là vận tốc góc trung bình của vật rắn.
∆t
Khi Δt → 0, ωtb → ω. ω gọi là vận tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t:
∆ϕ dϕ
ω = lim ω tb = lim = = ϕ& (7.4)
∆t → 0 ∆t → 0 ∆t dt
Vậy: Vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo
hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay φ.
Quy ước dấu của ω:
+ ω > 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay ngược chiều
kim đồng hồ.
+ ω < 0: nếu nhìn từ ngọn của trục quay ta nhìn thấy vật quay cùng chiều kim
đồng hồ.
Đơn vị tính vận tốc góc là: rad/s hoặc 1/s hoặc s-1.
ur
Vector vận tốc góc ω : Để biểu thị độ nhanh chậm, chiều quay, trục quay thì ta
ur
dùng vector ω :
+ Phương ở trên trục quay
+ Chiều dương sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều
kim đồng hồ.
dϕ
+ Trị số ω = = ϕ&
dt
* Chú ý: trong kỹ thuật người ta còn biểu diễn vận tốc góc bằng số vòng quay
trong một phút, kí hiệu là n (vòng/phút). Biểu thức liên hệ giữa n và ω là:
2π n π n
ω = = (rad/s) (7.5)
60 30
75
- 7.2.2.3. Gia tốc góc (ε)
Để đặc trưng cho sự biến đổi của vận tốc góc theo thời gian ta có khái niệm gia
tốc góc.
Giả sử trong khoảng thời gian: Δt = t1 - t, vận tốc góc biến đổi một lượng: Δω =
ω1 - ω.
∆ω
Ta gọi: ε tb = là gia tốc góc trung bình của vật rắn.
∆t
Khi Δt → 0, εtb → ε . ε là gia tốc góc tức thời của vật tại thời điểm t:
∆ω dω
ε = lim ε tb = lim = = ω& = ϕ&& (7.6)
∆t→ 0 ∆t → 0 ∆t dt
Vậy: Gia tốc góc của vật rắn quay quanh một trục cố định có giá trị bằng đạo
hàm bậc nhất theo thời gian của vận tốc góc hay đạo hàm bậc hai theo thời gian của
góc quay.
Đơn vị tính gia tốc góc là: rad/s2 hoặc 1/s2 hoặc s-2.
r r ur r
Vector gia tốc góc ε : Gọi k là véctơ đơn vị của trục quay z, ta có ω = ω k . Khi
ur
r dω dω r r r
đó: ε = = k = ε k . Vậy ε có:
dt dt
+ Phương: ở trên trục quay
+ Chiều dương: sao cho nhìn từ ngọn của trục quay thấy vật quay ngược chiều
kim đồng hồ.
dω
+ Trị số: ε = = ω&
dt
7.2.2.4. Tính chất của chuyển động quay
- Nếu ε = 0: chuyển động quay đều.
d 2ω
- Nếu ε = const (ε ≠ 0) , ta xét dấu: = 2 εω
dt 2
+ Nếu ω.ε > 0: chuyển động quay nhanh dần đều
+ Nếu ω.ε < 0: chuyển động quay chậm dần đều.
7.2.2.5. Các chuyển động quay đặc biệt
a) Chuyển động quay đều
Vật rắn chuyển động quay đều khi ε = 0 và ω = const, phương trình chuyển động:
φ = φ0 + ω0t
76
nguon tai.lieu . vn
