Xem mẫu

CHƢƠNG 3: ĐÁP ỨNG TẦN SỐ VÀ MẠCH LỌC TƢƠNG TỰ Nội dung 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT- TT- BB (LTIC) 7.2 Giản đồ Bode 7.3 Thiết kế hệ thống điều khiển dùng đáp ứng tần số 7.4 Thiết kế mạch lọc dùng vị trí điểm cực và điểm zêrô của hàm H(s) 7.5 Mạch lọc Butterworth 7.6 Mạch lọc Chebyshev 7.7 Biến đổi tần số 7.8 Mạch lọc thỏa điều kiện truyền không méo 7.9 Tóm tắt Tài liệu tham khảo: B.P. Lathi, Signal Processing and Linear Systems, Berkeley-Cambridge Press, 1998 Lọc là lĩnh vực quan trọng trong xử lý tín hiệu. Chương 4 đã trình bày ý niệm lọc lý tưởng. Trong chương này, ta thảo luận về các đặc tính và cách thiết kế mạch lọc thực tế. Các đặc tính lọc của bộ lọc được đặc trưng bởi đáp ứng với sóng sin với các tần số từ 0 đến . Đặc tính này gọi là đáp ứng tần số của bộ lọc. Hảy bắt đầu với việc xác định đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB. Nhắc lại là với h(t), ta dùng ý niệm H(ω) cho biến đổi Fourier và H(s)cho biến đổi Laplace. Đồng thời, khi hệ thống là nhân quả và ổn định tiệm cận, tất cả các cực của H(s) đều nằm bên trái mặt phẳng phức. Do đó, vùng hội tụ của H(s)bao gồm trục jω, và ta có được biến đổi Fourier H(ω) bằng cách thay s = jω vào biến đổi Laplace H(s) tương ứng. Do đó, H( jω) và H(ω) biểu diễn cùng đặc tính khi hệ thống ổn định tiệm cận. Trong chương này, ta sẽ tìm được lý do thuận tiện khi dùng ý niệm H( jω) thay cho H(ω). 7.1 Đáp ứng tần số của hệ LT – TT – BB Phần này tìm đáp ứng của hệ thống với ngõ vào sin. Phần 2.4-3 cho thấy đáp ứng của hệ LT – TT – BB với ngõ vào là hàm mủ không dừng f (t) = est là hàm mủ không dừng H(s)est . Như thế, cặp vào – ra của hệ thống là est  H(s)est (7.1) Đặt s =  jω vào hệ thức trên, ta có: ejωt  H(s)ejωt (7.2a) e− jωt  H(−jω)e− jωt (7.2b) Cộng hai hệ thức trên, có: 2cosωt  H(jω)ejωt + H(−jω)e− jωt = 2Re[H(jω)ejωt ] (7.3) Viết H( jω) theo dạng cực Thì quan hệ (7.3) thành H(jω) = H(jω)ejH( jω) (7.4) cosωt  H(jω) cos t +H(jω)] Nói khác đi, đáp ứng y(t)của hệ thống với ngõ vào cosωt là y(t) = H(jω)cos[ωt +H(jω)] (7.5a) Tương tự, đáp ứng với tín hiệu cos(ωt +) là y(t) = H(jω)cos[ωt + +H(jω)] (7.5b) Kết quả này có được khi cho s = jω, chỉ đúng khi hệ thống ổn định tiệm cận do quan hệ (7.1) chỉ đúng khi các giá trị s nằm trong vùng hội tụ của H(s). Trường hợp hệ thống không ổn định hay ở biên ổn định, vùng này không bao gồm trục ảo s = jω. Phương trình (7.5) cho thấy khi ngõ vào có tần số theo radian ω, thì đáp ứng cũng là sin với cùng tần số ω. Ngõ ra có biên độ dạng sin là H( jω) nhân với biên độ ngõ vào, và có góc pha là góc pha tín hiệu vào dời đi góc H( jω) (xem hình 7.1) Thí dụ, hệ thống có H( j10) =3 và H(j10) = −300 , thì hệ thống đã khuếch đại sóng sin có tần số ω =10 theo tỉ lệ 3 và làm trễ góc pha đi 300 . Đáp ứng với tín hiệu vào 5cos(10t +500) là 3x5cos(10t +500 −300) =15cos(10t +200). Rõ ràng thì H( jω) là độ lợi hệ thống, và đồ thị H( jω) theo ω là hàm của độ lợi hệ thống theo tần số ω. Hàm này còn gọi là đáp ứng biên độ. Tương tự, H( jω)là đáp ứng pha và đồ thị của của H( jω)theo ω là cho thấy phương thức hệ thống thay đổi pha của tín hiệu vào. Hai đồ thị trên, là hàm theo ω, còn gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Ta thấy H( jω)có chứa thông tin của H( jω) và H( jω). Do đó, H( jω) còn được gọi là đáp ứng tần số của hệ thống. Đáp ứng tần số cho thấy phương thức hệ thống đáp ứng với các sóng sin với nhiều tần số khác nhau. Như thế, đáp ứng tần số biểu diễn đặc tính lọc của hệ thống. ■ Thí dụ 7.1: Tìm đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của hệ thống có hàm truyền H(s) = s +0,1 Đồng thời, tìm đáp ứng hệ thống y(t) khi ngõ vào là (a) cos 2t (b) cos (10t – 500). Trong trường hợp này H( jω) = jω +0,1 Viết theo dạng cực H( jω) = ω2 +0.01 ω2 + 25 và H( jω) = tan−10,1− tan−1 5  Các đáp ứng biên độ và pha theo ω được vẽ trong hình 7.1a. Các đồ thị này cung cấp đầy đủ thông tin và đáp ứng tần số của hệ thống với các ngõ vào sin. (a) Khi tín hiệu vào f (t) = cos2t,ω = 2 và H( j2) = (2))2+0,01 = 0,372 H( j2) = tan−10,1− tan−15 =87,10 −21,80 = 65,30 Ta cũng tìm trực tiếp được đáp ứng tần số trong hình 7.1a tương ứng với ω = 2. Kết quả này có nghĩa là khi ngõ vào sin có tần số ω = 2, thì độ lợi biên độ của hệ thống là 0,372 và góc dịch pha là 65,30. Nói cách khác, biên độ ra là 0,372 lần biên độ vào, và góc pha của ngõ ra là dịch pha của tín hiệu vào với 65,30. Như thế, đáp ứng của hệ thống với ngõ vào cos 2t là y(t) = 0,372cos(2t +65,30) Các ngõ ra và ngõ vào tương ứng được vẽ trong hình 7.1b. (b) Khi tín hiệu vào là cos (10t – 500), thay vì tính các giá trị H( jω) và H( jω) như trong phần (a), ta đọc trực tiếp từ đồ thị của đáp ứng tần số vẽ trong hình 7.1a khi ω = 10. Các giá trị này là: H(j10) = 0,894 và H( j10) = 260 Như vậy, khi tín hiệu sin với tần số ω = 10, biên độ tín hiệu sin ngõ ra là 0,894 lần biên độ tín hiệu vào và góc pha tín hiệu ra dời so với góc pha tín hiệu vào là 260. Như vậy, đáp ứng ngõ ra với tín hiệu vào cos (10t – 500) là y(t) = 0,894cos(10t −500 +260) = 0,894cos(10t −240) Trường hợp tín hiệu vào là sin (10t – 500), đáp ứng ra sẽ là 0,894sin (10t – 500+ 260 ) = 0,894sin (10t –240 ). ` Đáp ứng tần số trong hình 7.1a cho thấy hệ thống là mạch lọc có đặc tính thông cao, đáp ứng tốt với tín hiệu sin tần số cao (ω lớn hơn 5) và triệt các tín hiệu tần số thấp hơn (ω thấp hơn 5). ■ Thí dụ C7.1 dùng máy tính Vẽ đáp ứng tần số của hàm truyền H(s) = s2 +3s + 2 num=[1 5]; den=[1 3 2]; w=.1:.01:100; axis([log10(.1)log10(100) -50 50]) [mag, phase, w]=bode(num, den, w); subplot(211), semilogx(w,20*log10(mag)) subplot(211),semilogx(w,phase)  ■ Thí dụ 7.2: Tìm và vẽ đáp ứng tần số (đáp ứng biên độ và đáp ứng pha) của (a) khâu trễ lý tưởng T giây (b) khâu vi phân lý tưởng (c) khâu tích phân lý tưởng (a) Khâu trễ lý tƣởng T giây. Hàm truyền khâu trễ lý tưởng là (phương trình 6-54) H(s) = e−sT  H(jω) = e− jωT nên H(jω) =1 H(jω) = −ωT (7.6) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2a. Đáp ứng biên độ là hằng (đơn vị) với mọi tần số. Góc dịch pha tăng tuyến tính theo tần số với độ dốc – T . Kết quả này có thể được giải thích qua ghi nhận là nếu tín hiệu cosωt qua khâu trễ lý tưởng T giây, thì ngõ ra là cosω(t – T). Biên độ ngõ ra giống với biên độ ngõ vào với mọi giá trị của ω. Do đó, biên độ đáp ứng ra (độ lợi) là đơn vị với mọi tần số. Hơn nữa, ngõ ra cosω(t −T) = cos(ωt −ωT) có độ dịch pha – ωT so với ngõ vào cosωt. Do đó, đáp ứng pha tỉ lệ tuyến tính với tần số ω, và độ dốc – T (b) Khâu vi phân lý tƣởng: có hàm truyền (xem phương trình (6.55) H(s) = s  H( jω) = jω =ωejπ /2 , do đó H(jω) =ω H(jω) =π /2 (7.7) Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ trong hình 7.2b. Đáp ứng biên độ tăng tuyến tính theo tần số, và đáp ứng pha là hằng (π/2) với mọi tần số. Kết quả này được giải thích từ nhận xét là nếu tín hiệu cosωt qua bộ vi phân lý tưởng, thí ngõ ra là −ωsinωt =ωcos ωt +π /2 . Do đó, biên độ sóng ra là ω lần biên độ tín hiệu vào, tức là biên độ đáp ứng (độ lợi) tăng tuyến tính theo tần số ω. Hơn nữa, sóng ra có dịch pha π/2 so với sóng vào cosωt. Do đó, đáp ứng pha là hằng (π/2) với tần số. Bộ vi phân lý tưởng, có biên độ đáp ứng (độ lợi) tỉ lệ với tần số [ H( jω) =ω], nên các thành phần tần số cao được tăng cường (hình 7.2b). Mọi tín hiệu thực tế đều bị nhiễm nhiễu, là tín hiệu có bản chất có băng thông rộng, nên tín hiệu có các thành phần có tần số rất cao. Mạch vi phân có thể làm tăng phi tuyến biên độ nhiễu so với tín hiệu có ích, nên trong thực tế không dùng được bộ vi phân lý tưởng. (c) Bộ tích phân lý tƣởng: có hàm truyền là (phương trình (6.56)) H(s) = 1  H( jω) = 1 = − j = 1 e− jπ /2 , do đó H( jω) = 1 H( jω) = −π Đáp ứng biên độ và đáp ứng pha vẽ ở hình 7.2c. Đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch với tần số, còn độ dịch pha là hằng (–π/2) theo tần số. Kết quả này có thể giải thích với nhận xét là khi tín hiệu cosωt qua khâu tích phân lý tưởng, ngõ ra là 1 sinωt = 1 cosωt − π . Do đó, đáp ứng biên độ tăng tỉ lệ nghịch với ω, và đáp ứng pha là hằng số (–π/2) theo tần số. ... - tailieumienphi.vn
nguon tai.lieu . vn