Xem mẫu
- www.MATHVN.com
T NG H P 50 CÂU H I PH KH O SÁT HÀM S
Bài 1.
2x
Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th hàm s y = bi t ti p tuy n c t Ox, Oy l n lư t t i A, B mà
x−2
√
tam giác OAB th a mãn AB = OA 2
Gi i
Cách 1 G i M (xo ; yo ), (xo = 2) thu c đ th hàm s . Pt ti p tuy n d t i M có d ng:
−4
2xo
y− (x − xo )
=
xo − 2 (xo − 2)2 √
Do ti p tuy n c t các tr c Ox, Oy t i các đi m A, B và tam giác OAB có AB = OA 2 nên tam giác OAB
vuông cân t i O. Lúc đó ti p tuy n d vuông góc v i m t trong 2 đư ng phân giác y = x ho c y = −x
+TH1: d vuông góc v i đư ng phân giác y = x
xo = 0 ⇒ pt d : y = −x (lo i)
−4
= −1 ⇔ (xo − 2)2 = 4 ⇔
Có:
(xo − 2)2 xo = 4 ⇒ pt d : y = −x + 8
+TH2: d vuông góc v i đư ng phân giác y = −x
−4
.(−1) = −1 pt vô nghi m.
Có
(xo − 2)2
V y có 1 ti p tuy n th a yêu c u bài toán d : y = −x + 8
1
OA π
= √ = sin
Cách 2 nh n xét tam giác AOB vuông t i O nên ta có : sin(ABO) =
4
AB 2
nên tam giác AOB vuông cân t i O. phương trình ti p tuy n c a (C) t i đi m M = (xo ; yo ) có d ng :
−4 2xo
(x − xo ) +
y=
(xo − 2)2 xo − 2
2 2
2xo
xo
d dàng tính đư c A = ; 0 và B = 0;
(xo − 2)2
2
yêu c u bài toán lúc này tương đương v i vi c tìm xo là nghi m c a phương trình
2 2
2xo
xo 3
⇔ xo (xo − 4) = 0
=
(xo − 2)2
2
+) v i xo = 0 ta có phương trình ti p tuy n là : y = −x (lo i)
+) v i xo = 4 thì phương trình ti p tuy n là : y = −x + 8
Bài 2.
1 1
Tìm các giá tr c a m đ hàm s y = x3 − m.x2 + m2 − 3 x có c c đ i x1 , c c ti u x2 đ ng th i x1 ; x2
3 2
5
là đ dài các c nh góc vuông c a m t tam giác vuông có đ dài c nh huy n b ng
2
Gi i
Cách 1 Mxđ: D = R Có y = x2 − mx + m2 − 3 y = 0 ⇔ x2 − mx + m2 − 3 = 0
Hàm s có c c đ i x1 ,c c ti u x2 th a yêu c u bài toán khi và ch khi pt y = 0 có 2 nghi m phân bi t dương,
tri t tiêu và đ i d qua 2 nghi m đó
u
4 − m2 > 0 −2 < m < 2
∆ > 0
√
⇔ S>0 ⇔ m>0 ⇔ m>0 ⇔ 3 < m < 2 (∗)
√ √
2
m − 3 > 0 m < − 3 ∨ m > 3
P > 0
x + x = m
1 2
Theo vi-et có:
x1 x2 = m2 − 3
√
5 14
Mà x1 + x2 = ⇔ 2(x1 + x2 )2 − 4x1 x2 = 5 ⇔ 2m2 − 4(m2 − 3) = 5 ⇔ m = ±
2 2
2 2
www.mathvn.com
1
- √ www.MATHVN.com
14
Đ i chi u đk (*) ta có giá tr m = th a yêu c u bài toán
2
Bài 3.
1
Tìm t t c các giá tr m sao cho trên đ th (Cm ) : y = mx3 + (m − 1)x2 + (4 − 3m)x + 1 t n t i đúng 2
3
đi m có hoành đ dương mà ti p tuy n t i đó vuông góc v i đư ng th ng (L) : x + 2y − 3 = 0.
Gi i
Cách 1: Có y = mx2 + 2(m − 1)x + 4 − 3m
1
T yêu c u bài toán d n đ n pt: y · − = −1 có đúng 2 nghi m dương phân bi t
2
⇔ mx2 + 2(m − 1)x + 2 − 3m = 0 có 2 nghi m dương phân bi t.
m = 0 m = 0
m = 0
m = 1 1
2
4m − 4m + 1 > 0
0 0
2
⇔ ⇔ m−1 ⇔ ⇔ 1 2
0 0
>0
3
m
1 12
V y m ∈ 0; ∪ là các giá tr c n tìm c a m
;
2 23
Cách 2: Có y = mx2 + 2(m − 1)x + 4 − 3m
1
= −1 có đúng 2 nghi m dương phân bi t ⇔ mx2 + 2(m − 1)x +
T yêu c u bài toán d n đ n pt: y · −
2
2 − 3m = 0 (1) có 2 nghi m dương phân bi t
Th1: m = 0 t (1) ta có x = −1 (lo i)
1
Th2: m = t (1) ta có x = ±1 (lo i)
2
2 − 3m
1
Th3: m = 0; m = t pt (1) có 2 nghi m x = 1 ∨ x =
2 m
2 − 3m 2
>0⇔0 0
Lúc đó :⇔ ⇔ 0 < k = 9 (∗ )
g(2) = 9 − k = 0
x + x = −2
B C
. Mà B, C thu c d nên yB = kxB − 2k + 4; yC = kxC − 2k + 4
Theo vi-et ta có :
xB .xC = 1 − k
√
Có BC = 2 2 ⇔ BC2 = 8 ⇔ (xB − xC )2 + k2 (xB − xC )2 = 8
⇔ (xB + xC )2 − 4xB xC (1 + k2 ) = 8 ⇔ k3 + k − 2 = 0 ⇔ k = 1 (th a đk (∗ )) ⇒ pt d : y = x + 2
V y đư ng th ng d c n tìm có pt: y = x + 2
www.mathvn.com
2
- www.MATHVN.com
Bài 5.
Cho hàm s y = 4x3 − 6mx2 + 1, m là tham s .Tìm m đ đư ng th ng d : y = −x + 1 c t đ th hàm s
t i 3 đi m A(0; 1), B, C và B, C đ i x ng qua đư ng phân giác th nh t.
Gi i
Giao c a (C) và (d ) có hoành đ là nghi m c a phương trình:
4x3 − 6mx2 + 1 = −x + 1 ⇔ x(4x2 − 6mx + 1) = 0
Đ pt có 3 n0 phân bi t thì 4x2 − 6mx + 1 = 0 có 2 nghi m phân bi t
−2
2
⇒ ∆ = 9m2 − 4 > 0 ⇔ m > , m <
3 3
G i B(x1 ; −x1 +), C(x2 ; −x2 + 1) Đ B và C đ i x ng qua đư ng phân giác th 1 thì:
1
x = −x + 1
x = y 3 2
1 2 1 2
⇔ ⇔ x1 + x2 = 1 ⇔ m = 1 ⇔ m =
2 3
x2 = −x1 + 1
y1 = x2
So sánh v i đk, th y không tìm đư c m th a mãn
Bài 6. đ thi th l n 2 LQĐ Bình Đ nh
4 − 2mx2 + 2m2 − 4,m là tham s th c.Xác đ nh m đ hàm s đã cho có 3 c c tr t o
Cho hàm s y = x
thành m t tam giác có di n tích b ng 1
Gi i
Mxđ: D = R. Có y = 4x3 − 4mx.
y = 0 ⇔ 4x3 − 4mx = 0 ⇔ x = 0 ∨ x2 = m. Hàm s có 3 c c tr ⇔ m > 0 (∗)
2 − 4); B(√m; m2 − 4); C(−√m; m2 − 4) là 3 đi m c c tr .
G i A(0; 2m
Nh n xét th y B, C đ i x ng qua Oy và A thu c Oy nên ∆ABC cân t i A.
1
K AH ⊥BC có S∆ABC = AH .BC ⇔ 2 = |yB − yA | |2xB |
2
√
⇔ 2 = 2m2 . m ⇔ m = 1 Đ i chi u v i đi u kiên (∗) có m = 1 là giá tr c n tìm.
Bài 7.
x−2
Cho hàm s y = . Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th bi t ti p tuy n c t Ox, Oy t i A, B sao
x+1
cho bán kính vòng tròn n i ti p tam giác OAB l n nh t
Gi i
Đ th hàm s đã cho có ti m c n đ ng là đư ng th ng x = −1 và ti m c n ngang là đư ng th ng y = 1.
Giao đi m hai đư ng ti m c n I (−1; 1). Gi s ti p tuy n c n l p ti p xúc v i đ th t i đi m có hoành đ
x0 − 2
3
(x − x0 ) +
x0 , phương trình ti p tuy n có d ng: y = 2 x0 + 1
(x0 + 1)
x0 − 5
Ti p tuy n c t ti m c n đ ng x = −1 t i đi m A −1; , và c t ti m c n đ ng t i đi m B (2x0 + 1; 1).
x0 + 1
x0 − 5 6
; IB = |2x0 + 1 − (−1)| = 2|x0 + 1|
−1 =
Ta có:IA =
|x0 + 1|
x0 + 1
6 1
.2 |x0 + 1| = 12. Do v y, di n tích tam giác IAB là: S = IA.IB = 6.
Nên: IA.IB =
|x0 + 1| 2
6
S
G i p là n a chu vi tam giác IAB, thì bán kính đư ng tròn n i ti p tam giác này là:r = = .
pp
B i v y, r l n nh t khi và ch khi p nh nh t. M t khác, tam giác IAB vuông t i I nên:
√ √ √ √
√
2 p = IA + IB + AB = IA + IB + IA2 + IB2 ≥ 2 IA.IB + 2IA.IB = = 4 3 + 2 6
√
D u ’=’ x y ra khi IA = IB ⇔ (x0 + 1)2 = 3 ⇔ x = −1 ± 3
√ √
- V i x = −1 − 3 ta có ti p tuy n: d1 : y = x + 2 1 + 3
√ √
- V i x = −1 + 3 ta có ti p tuy n: d1 : y = x + 2 1 − 3
Bài 8.
www.mathvn.com
3
- www.MATHVN.com
2mx + 3
Cho hàm s y = . G i I là giao đi m 2 ti m c n. Tìm m đ ti p tuy n b t kỳ c a hàm s c t hai
x−m
ti m c n t i A, B sao cho di n tích tam giác IAB b ng 64
Gi i
D th y đ th hàm s đã cho có đư ng ti m c n đ ng là đư ng th ng x = m và đư ng ti m c n ngang là
y = 2m. T a đ giao đi m c a hai đư ng ti m c n là I (m; 2m).
2mx0 + 3
(v i x0 = m) là đi m b t kỳ thu c đ th hàm s đã cho.
G i M x0 ;
x0 − m
2m2 + 3 2mx0 + 3
Phương trình ti p tuy n c a đ th hàm s t i đi m này là: y = − (x − x0 ) +
2 x0 − m
(x0 − m)
2 +6
2mx0 + 2m
và c t ti m c n ngang t i B (2x0 − m; 2m).
Ti p tuy n này c t ti m c n đ ng t i A m;
x0 − m
2mx0 + 2m2 + 6 4m2 + 6
; IB = |2x0 − m − m| = 2 |x0 − m|
− 2m =
Ta có: IA =
x0 − m x0 − m
1
Nên di n tích tam giác IAB là: S = IA.IB = 4m2 + 6
2 √
2 + 6 = 64 ⇔ m = ± 58
B i v y, yêu c u bài toán tương đương v i: 4m
2
Bài 9.
Tìm m sao cho đ th hàm s y = x4 − 4x2 + m c t tr c hoành t i 4 đi m phân bi t sao cho di n tích
hình ph ng gi i h n b i (C) và tr c hoành có ph n trên b ng ph n dư i
Gi i
Phương trình hoành đ giao đi m c a đ th (C) và Ox:x4 − 4x2 + m = 0 (1)
Đ t t = x2 ≥ 0. Lúc đó có pt: t 2 − 4t + m = 0 (2)
Đ ) c t Ox t i 4 đi m phân bi t khi pt (1) có 4 nghi m phân bi t ⇔ (2) có 2 nghiêm phân bi t t > 0
(C
∆ = 4 − m > 0
⇔ S=4>0 ⇒ 0 < m < 4 (i)
P = m > 0
G i t1 ; t2 (0 < t1 < t2 ) là 2 nghi m c a pt (2). Lúc đó pt(1) có 4 nghi m phân bi t theo th t tăng d n là:
√ √ √ √
x1 = − t2 ; x2 = − t1 ; x3 = t1 ; x4 = t2
Do tính đ i x ng c a đ th (C) nên có:
x 5 4x 3
x3 x4
(x4 − 4x2 + m) dx = (−x4 + 4x2 − m) dx ⇒ 4 − 4 + mx4 = 0 ⇒ 3x4 − 20x4 + 15m = 0
4 2
5 3
0 x3
x4 − 4x2 + m = 0 (3)
T đó có x4 là nghi m c a hpt: 4 4
3x4 − 20x2 + 15m = 0 (4)
4 4
9m2
3m 3m 20
2 2
L y 3.(3) − (4) ⇒ x4 = − 5m = 0 ⇒ m = 0 ∨ m =
Thay x4 = vào (3) có:
2 2 4 9
20
Đ i chi u đi u ki n (i) có m = là giá tr c n tìm.
9
Bài 10.
Cho hàm s y = x4 − 2(1 − m2 )x2 + m + 1. Tìm m đ hàm s đã cho có ba đi m c c tr và ba đi m c c
tr này t o thành m t tam giác có di n tích l n nh t.
Gi i
y = 4x3 − 4x(1 − m2 ) = 0 ⇔ x = 0, x2 = 1 − m2
Hàm s có 3 c c tr ⇔ −1 < m < 1
Khi đó, t a đ đi m c c đ i là A(0; 1 + m),
√ √ √ √
t a đ 2 đi m c c ti u là B(− 1 − m2 ; 1 − m2 ); C( 1 − m2 ; 1 − m2 )
www.mathvn.com
4
- www.MATHVN.com
5
1
Di n tích tam giác ABC là: SABC = d (A; BC).BC = (1 − m2 ) 2 ≤ 1. D u = x y ra khi m = 0.
2
Đáp s : m = 0
Bài 11.
−x + 1
Cho hàm s y = có đ th là (H ). Tìm trên (H ) đi m M đ ti p tuy n t i M có h s góc l n
x−3 √
25
hơn 1 t o v i đư ng th ng ∆ : 3x + 4y − 1 = 0 m t góc có giá tr b ng
25
Gi i
Vì ch√bi t công th c tính cos c a góc t 2 vecto cho trư c, v i l i bài này cho k t qu cos khá đ p
25
) ≈ 0, 9999... ≈ 1 nên em nghĩ là s áp d ng công th c tính cos c a góc gi a 2 vecto luôn.
cos(
25
2
G i vecto ch phương c a pt ti p tuy n t i M là: →(
− ; −1) Vecto ch phương c a dt ∆ : 3x + 4y − 1 = 0
u1
(x − 3)2
8
| + 3|
→(4; −3) Có: cos (→; →) = (x − 3)2 3
− −− = 1 ⇔ |8 + 3(x − 3)2 | = 5 4 + (x − 3)4 ⇔ (x − 3)2 = ⇔
là: u2 u1 u2
2
4
+1
5
(x − 3)4
x =? => M =?
Bài 12.
x+3
có đ th (H ). Tìm m đ đư ng th ng d : y = −x + m + 1 t i hai đi m phân bi t
Cho hàm s y =
x−2
A, B sao cho AOB nh n.
Gi i
x+3
= −x + m + 1 ⇔ x2 − (m + 2)x + 2m + 5 = 0
Giao c a (H ) và d có hoành đ là nghi m c a pt:
x−2
m2 − 4m + 16 > 0
Đ pt trên có 2 nghi m pb thì ∆ > 0, x = 2 ⇔ ⇒ m =?
22 − 2(m + 2) + 2m + 5 = 0
G i A(x1 ; −x1 + m + 1), B(x2 ; −x2 + m + 1) là 2 giao đi m c a (H ) và d
Đ AOB nh n thì : AB2 < OA2 + AB2 ⇔ 2(x2 − x1 )2 < (−x1 + m + 1)2 + (−x2 + m + 1)2 ⇔ −2x1 x2 + (m +
1)(x1 + x2 ) − (m + 1)2 < 0 ⇔ m > −3
K t h p v i đk ban đ u đ suy ra giá tr c a m.
Bài 13.
x
Cho hàm s y = . Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th (H ) c a hàm s đã cho bi t ti p tuy n
x−1 √
t o v i hai đư ng ti m c n m t tam giác có chu vi b ng 2(2 + 2)
Gi i
−1(x − xo ) xo
Cách 1. 2 đư ng ti m c n c a đ th là x = 1, y = 1 G i pttt c a (H ) t i M (xo ; yo ) là: y = +
2
(xo − 1) xo − 1
xo + 1 xo + 1
Khi x = 1 ⇒ y = ⇒ A(1; ). Khi y = 1 ⇒ x = 2xo − 1 ⇒ B(2xo − 1; 1), I (1; 1)
xo − 1 xo − 1
√
xo + 1 xo + 1 2
− 1 + 2xo − 2 + (2xo − 2)2 + (1 −
⇒ P(ABC) = IA + IB + AB = ) = 2(2 + 2)
xo − 1 xo − 1
√
⇔ 2(xo − 1)2 + (xo − 1)4 + 4 = 2(2 + 2)(xo − 1)
2+
x − 1 = 0 (lo i)
o
⇔ √ √ √
−2(1 + 2)(xo − 1)2 + (2 + 2)2 (xo − 1) − 2(2 + 2) = 0
Cách 2. - Phương trình ti m c n đ ng: x = 1, phương trình ti m c n ngang y = 1
−1
a a
(x − a) +
- G i M (a; ), phương trình ti p tuy n t i M: y = 2
a−1 (a − 1) a−1
www.mathvn.com
5
- www.MATHVN.com
a+1
- T a đ giao đi m c a ti p tuy n và ti m c n đ ng là: A(1; )
a−1
- T a đ giao đi m c a ti p tuy n và ti m c n ngang là: B(2a − 1; 1)
√
2 1
+ 2|a − 1| + 2 (a − 1)2 + ≥ 4 + 2 2, d u
- Chu vi tam giác IAB là: C = IA + IB + AB =
(a − 1)2
|a − 1|
= x y ra khi |a − 1| = 1 t c a = 0; a = 2
- V i a = 0 ⇒ y = −x
- V i a = 2 ⇒ y = −x + 4
K t lu n: y = −x, y = −x + 4 là 2 ti p tuy n c n tìm.
Bài 14.
2x − m
(1). Ch ng minh v i m i m = 0 đ th hàm s (1) c t (d ) : y = 2x − 2m t i
Cho hàm s : y =
mx + 1
2 đi m phân bi t A, B thu c m t đư ng (H ) c đ nh. Đư ng th ng (d ) c t các tr c Ox, Oy l n lư t t i
các đi m M , N . Tìm m đ SOAB = 3SOMN
Gi i
Phương trình hoành đ giao đi m c a đ th hàm s (1) và đư ng th ng d :
2x − m 1
= 2x − 2m ⇔ 2mx2 − 2m2 x − m = 0 x = − (2)
mx + 1 m
1
Do m = 0 nên (2) ⇔ f (x) = 2x2 − 2mx − 1 = 0 x = − (∗)
m
1
Đ t n t i 2 đi m A, B thì pt (∗) ph i có 2 nghi m phân bi t xA ; xB khác −
m
2 +2 > 0
∆ = m
⇔ ⇔ ∀m = 0
f (− 1 ) = 2 + 1 = 0
m2
m
1
M t khác có xA .xB = nên A, B luôn thu c m t đư ng (H ) c đ nh.
2
|−2m|
K OH ⊥AB ⇒ OH = d(O,d ) = √ . L i có A, B ∈ d ⇒ yA = 2xA − 2m; yB = 2xB − 2m
5
xA + xB = m
Theo viet có: .
xA .xB = 1
2 √
Có: AB = (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = 5(xA − xB )2 = 5(xA + xB )2 − 20xA xB ⇔ AB = 5m2 + 10
Vì M , N là giao đi m c a d v i Ox, Oy nên M (m; 0); N (0; 2m)
|−2m| √
Theo gi thi t :SOAB = 3SOMN ⇔ OH .AB = 3OM .ON ⇔ √ . 5m2 + 10 = 3 |xM | |yN |
5
|−2m| √ 2 √ 1
⇔ √ . 5m + 10 = 3 |m| |2m| ⇔ m2 + 2 = 3 |m| ⇔ m2 + 2 = 9m2 ⇔ m = ±
2
5
1
V y v i m = ± là các giá tr c n tìm .
2
Bài 15.
−x + 1
Tìm trên (H ) : y = các đi m A, B sao cho đ dài đo n th ng AB b ng 4 và đư ng th ng AB
x−2
vuông góc v i đư ng th ng y = x
Gi i
Do AB⊥d : y = x ⇒ pt AB : y = −x + m Phương trình hoành đ giao đi m c a (H ) và đư ng th ng AB:
−x + 1
= −x + m ⇔ g(x) = x2 − (m + 3)x + 2m + 1 = 0 (x = 2) (1)
x−2
Đ n t i 2 đi m A, B thì pt(1) c n có 2 nghi m phân bi t xA ; xB và khác 2
t
(m + 3)2 − 4(2m + 1) > 0
>0
∆
g(x)
⇔ (m − 1)2 + 4 > 0; ∀m
⇔ ⇔
4 − (m + 3)2 + 2m + 1 = 0
g(2) = 0
www.mathvn.com
6
- www.MATHVN.com
x + x = m + 3
B
A
L i có: yA = −xA + m; yB = −xB + m
Theo viet có
xA .xB = 2m + 1
Mà AB = 4 ⇔ AB2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 + (yA − yB )2 = 16 ⇔ (xB − xA )2 = 8 ⇔ (xB + xA )2 − 4xA .xB = 8
⇔ (m + 3)2 − 4(2m + 1) = 0 ⇔ m2 − 2m − 3 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = 3
√ √
+V i m = 3 thay vào pt (1) có:x2 − 6x + 7 = 0 ⇔ x = 3 ± 2 ⇒ y = ± 2. Lúc này t a đ 2 đi m A, B là
√ √ √√ √ √ √√
A(3 + 2; − 2); B(3 − 2; 2) ho c B(3 + 2; − 2); A(3 − 2; 2)
√ √
+V i m = −1 thay vào pt (1) có: x2 − 2x − 1 = 0 ⇔ x = 1 ± 2 ⇒ y = −2 ± 2. Lúc này t a đ 2 đi m
√ √ √ √ √ √ √ √
A, B là A(1 + 2; −2 − 2); B(1 − 2; −2 + 2) ho c B(1 + 2; −2 − 2); A(1 − 2; −2 + 2)
V y A, B là các đi m như trên th a yêu c u bài toán.
Bài 16.
Tìm m đ đ th hàm s y = x4 − mx2 + m − 1 c t tr c Ox t i 4 đi m phân bi t có hoành đ l n hơn −2.
Gi i
√
Xét:x4 − mx2 + m + 1 = 0. ∆ = (m − 2)2 => ∆ = |m − 2| ⇒ x2 = m − 1(m > 1), x2 = 1
√ √
V y 4 giao đi m c a đ th (C) v i tr c hoành là: A(−1; 0), B(− m − 1; 0), C(1; 0), D( m − 1; 0)
Đ 4 đi m đó có hoành đ >-2 thì:
√
TH1:− m − 1 > −1 ⇔ m < 2, k t h p v i đk ⇒ 1 < m < 2
√
TH2:−2 < − m − 1 < −1| ⇔ 2 < m < 5
V y :m ∈ (1; 2) ∪ (2; 5) là giá tr c n tìm.
Bài 17.
x+3
Cho hàm s y = có đ th là (H ). Tìm m đ đư ng th ng d : y = 2x + 3m c t (H ) t i hai đi m
x+2
−−
→→
phân bi t sao cho OA.OB = −4 v i O là g c t a đ .
Gi i
x+3
= 2x + 3m ⇒ 2x2 + 3(1 + m)x + 6m − 3 = 0 (1) có 2 nghi m phân bi t khác -2
- Xét phương trình:
x+2
khi ∆ = 9m2 − 30m + 33 > 0 đi u này x y ra v i m i m.
- G i 2 nghi m c a phương trình (1) là x1 , x2 thì A(x1 , 2x1 + 3m), B(x2 , 2x2 + 3m)
12m − 15
−−
→→ 7
- Có: OA.OB = −4 ⇒ x1 .x2 + (2x1 + 3m)(2x2 + 3m) = −4 ⇒ = −4 ⇒ m =
2 12
Bài 18.
3x − 1
Tìm t a đ hai đi m B, C thu c hai nhánh khác nhau c a đ th y = sao cho tam giác ABC vuông
x−1
cân t i A(2; 1).
Gi i
−
→
Đ i h tr c t a đ Oxy thành h tr c t a đ IXY b ng phép t nh ti n OI v i I (1; 3)
x = X + 1
Công th c đ i tr c:
y = Y + 3
2
(1) và đi m A tr thành A(1; −2)
Trong h t a đ m i pt hàm s đư c vi t l i là :Y =
X
2 2
(a < 0 < b) thu c đ th hàm s (1).
Xét 2 đi m B a; ; C b;
a b
G i H , K l n lư t là hình chi u c a B, C lên đư ng th ng y = −2 ⇒ H (a; −2); K (b; −2)
Có BAH + CAK = 900 = CAK + ACK ⇒ BAH = ACK
AH = CK
V y ∆AHB = ∆CKA (c nh huy n_góc nh n)⇒ (∗)
BH = AK
www.mathvn.com
7
- www.MATHVN.com
2
(1 − a)2 = 2 + 2
(2)
b
Lúc đó t (∗) có hpt:
2 + 2 = |b − 1|
(3)
a
−b − 2
3b + 2
2 2
T (2) có 3 − a + −a − 1 − =0⇔a= ∨a =
b b b b
2 + 9b + 6 = 0(4)
3b + 2 8b + 4 3b
= |b − 1| ⇒
V ia= t (3) có
3b2 + 7b + 2 = 0(5)
3b + 2
b
+ V i (4) pt có 2 nghi m b = −1 ∨ b = −2 không th a do b > 0
1
+ V i (5) pt có 2 nghi m b = − ∨ b = −2 không th a do b > 0
3
b2 + b − 6 = 0(6)
−b − 2 4
= |b − 1| ⇒
V ia= t (3) có
b2 + b + 2 = 0(7)
b+2
b
+V i (7) pt vô nghi m
+V i (6) pt có 2 nghi m b = 2 ∨ b = −3 (lo i)
Khi b = 2 ⇒ B(−2; −1); C(2; 1) ho c ngư c l i. Lúc đó 2 đi m B, C c a bài toán c n tìm là: B(−1; 2); C(3; 4)
ho c ngư c l i.
Bài 19.
Cho hàm s y = x3 + 3x2 + m (1) . Tìm m đ hàm s (1) có 2 đi m c c tr A, B sao cho AOB = 120o
Gi i
- Phương trình y = 0 ⇔ x = 0, x = −2
- T a đ 2 đi m c c tr c a đ th a(0; m), B(−2; m + 4)
- Yêu c u c a bài toán d n đ n gi i phương trình:
√
−−
→→ √ −12 + 132
OA.OB 1
= − ⇔ −2m(m + 4) = |m| m2 + 8m + 20 ⇔ m = 0, m =
OA.OB 2√ 3
−12 + 132
Đáp s : m = 0, m =
3
Bài 20. đ thi th đ i h c THPT Thanh Th y l n 2 t nh Phú Th
2x − 1
Cho hàm s y = có đ th (C).
x+1 √
Tìm m đ đư ng th ng d : y = x + m c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B sao cho AB = 2 2
Gi i
Phương trình hoành đ giao đi m c a (C) và đư ng th ng d :
2x − 1
= x + m ⇔ f (x) = x2 + (m − 1)x + m + 1 = 0 (1) (x = −1)
x+1
Đ c t (C) t i 2 đi m phân bi t A, B thì phương trình (2) có 2 nghi m phân bi t xA , xB khác −1
d
∆ = (m − 1)2 − 4(m + 1) > 0 x + x = 1 − m
B
A
⇔ (∗). Theo vi-et có :
f (−1) = 1 − m + 1 + m + 1 = 0 xA .xB = m + 1
√
L i có A, B ∈ d ⇒ yA = xA + m; yB = xB + m Do AB = 2 2 ⇔ AB2 = 8 ⇔ (xA − xB )2 + (yA − yB )2 = 8
⇔ (xA + xB )2 − 4xA .xB = 4 ⇔ (1 − m)2 − 4(m + 1) = 4 ⇔ m2 − 6m − 7 = 0 ⇔ m = −1 ∨ m = 7
Đ i chi u đi u ki n (∗) ta có m = −1; m = 7 là giá tr c n tìm.
Bài 21.
3x − 2
Cho hàm s y = (C). G i I là giao c a 2 đư ng ti m c n c a đ th .
x+1
Vi t phương trình ti p tuy n d c a đ th hàm s bi t d c t ti m c n đ ng và ti m c n ngang l n lư t t i
5
A và B th a mãn cos BAI = √
26
Gi i
www.mathvn.com
8
- www.MATHVN.com
Xét đi m M (xo ; yo ), (xo = −1) ∈ (C) là ti p đi m c a ti p tuy n d .
3xo − 2 5
Phương trình ti p tuy n t i d có d ng : y − (x − xo )
=
(xo + 1)2
xo + 1
5
Do ti p tuy n d c t ti m c n đ ng , ti m c n ngang l n lư t t i A, B và ∆IAB có cos BAI = √
26
1 1 1
2 BAI = ⇒ tan ABI = |5|
−1 = ⇒ tan BAI =
nên tan
|5|
25
cos2 BAI
5
L i có tan ABI là h s góc c a ti p tuy n d mà y (xo ) = >0
(xo + 1)2
5
= 5 ⇔ (xo + 1)2 = 1 ⇒ xo = 0 ∨ xo = −2
nên 2
(xo + 1)
V i xo = 0 có pt ti p tuy n d : y = 5x − 2
V i xo = −2 có pt ti p tuy n d : y = 5x + 2
V y có 2 ti p tuy n th a yêu c u bài toán có pt như trên.
Bài 22.
Cho hàm s y = x4 − 2mx2 + 2 có đ th (Cm ).Tìm t t c các giá tr c a tham s m đ đ th (Cm ) có ba
39
đi m c c tr t o thành m t tam giác có đư ng tròn ngo i ti p đi qua đi m D .
;
55
Gi i
√
y = 4x3 − 4mx = 0 ⇔ x = 0, x = ± m (m > 0) V y các đi m thu c đư ng tròn (P) ngo i ti p các đi m
√ √ 39
c c tr là: A(0; 2), B(− m; −m2 + 2), C( m; −m2 + 2), D . G i I (x; y) là tâm đư ng tròn(P)
;
55
IA2 = ID2 3x − y + 1 = 0
√ √
⇒ IB2 = IC2 ⇔ 2x m = −2x m ⇔ x = 0, y = 1, m = 0(lo i), m = 1.
(x + √m)2 + (y + m2 − 2)2 = x2 + (y − 2)2
2
IB = IA2
V y m = 1 là giá tr c n tìm.
Bài 23.
x4 5
Cho hàm s y = − 3x2 + có đ th (C) và đi m A ∈ (C) v i xA = a.
2 2
Tìm các giá tr th c c a a bi t ti p tuy n c a (C) t i A c t đ th (C) t i 2 đi m phân bi t B, C khác A
sao cho AC = 3AB (B n m gi a A và C).
Gi i
a4 5
Cách 1 Xét A a; − 3a2 + thu c đ th (C).
2 2
a4 4
2 + 5 = (2a3 − 6a)(x − a) ⇔ y = 2a(a2 − 3)x − 3a + 3a2 + 5
Phương trình ti p tuy n t i A : y − − 3a
2 2 2 2
x4 3a4
5 5
Phương trình hoành đ giao đi m c a (C) và ti p tuy n t i A. − 3x2 + = 2a(a2 − 3)x − + 3a2 +
2 2 2 2
x=a
⇔ (x − a)2 (x2 + 2ax + 3a2 − 6) = 0 ⇔
f (x) = x2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 (1)
Đ p tuy n t i A c t (C) t i 2 đi m B, C khác A thì pt (1) c n có 2 nghi m phân bi t xB ; xC khác a
ti √
− 3 < a < √3
∆ = a2 − (3a2 − 6) > 0
⇔ ⇔ (∗)
f (a) = 6a2 − 6 = 0 a = ±1
−
→ −→
Do AB = 3AC ⇒ = 3AB ⇒ xC − 3xB = −2a (2)
AC
x + x = −2a (3)
B C
L i theo vi et có: .
xB .xC = 3a2 − 6 (4)
√
T (2) và (3) ⇒ xB = 0và xC = −2a. Th vào (4) có: 3a2 − 6 = 0 ⇔ a = ± 2 ( th a (∗))
www.mathvn.com
9
- www.MATHVN.com
Ki m tra:
√ √ √ 21
3 5
2; − ; C −2 2; ⇒ AC = 3AB
+V i a = 2 có A ; B 0;
2 2 2
√ √ √ 21
3 5
+V i a = − 2 có A − 2; − ⇒ AC = 3AB
; B 0; ; C 2 2;
2 2 2
√
V y a = ± 2 là các giá tr c n tìm c a a.
Cách 2 Phương trình ti p tuy n c a đ th (C) hàm s đã cho t i đi m A v i xA = a là:
a4 5
y = 2a3 − 6a (x − a) + − 3a2 +
2 2
PT hoành đ giao đi m c a ti p tuy n này v i đ th (C):
x4 a4
5 5
− 3x2 + = 2a3 − 6a (x − a) + − 3a2 + ⇔ (x − a)2 x2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0
2 2 2 2
Đ có 3 giao đi m A, B, C thì phương trình: √
− 3 < a < √3
x2 + 2ax + 3a2 − 6 = 0 (∗) có hai nghi m phân bi t khác a ⇔ .
a = ±1
x + x = −2a
B C
Khi đó hoành đ B, C là hai nghi m c a phương trình (∗) nên: ⇔
xB .xC = 3a2 − 6
−→ −
→
M t khác: = 3AB (B n m gi a và C) ⇔ AC = 3AB ⇔ xC − 3xB = −2a
AC A
x − 3x = −2a x = 0
B B
C
√
⇔ xC = −2a ⇔ a = ± 2 th a mãn đi u ki n.
Ta có h : xB + xC = −2a
xB .xC = 3a2 − 6 2
3a − 6 = 0
√
V y giá tr c n tìm c a m là: a = ± 2
Bài 24. Câu I ý 2 đ thi th đ i h c Vinh l n 3
14
Cho hàm s y = x − (3m + 1)x2 + 2(m + 1) (m là tham s ). Tìm m đ hàm s có 3 đi m c c tr t o
4
thành m t tam giác có tr ng tâm là g c t a đ O.
Gi i
y = x3 − 2(3m + 1)x = 0 ⇔ x = 0, x2 = 2(3m + 1)
1
Hàm s có 3 c c tr khi m > − , khi đó t a đ 3 đi m c c tr c a đ th là
3
√ √
A(0; 2m + 2), B(− 6m + 2; −9m2 − 4m + 1), C( 6m + 2; −9m2 − 4m + 1)
2 1
Tam giác ABC có tr ng tâm O khi: −18m2 − 6m + 4 = 0 ⇔ m = − , m =
3 3
1
Đáp s : m =
3
Bài 25. Câu I ý 2 đ thi th đ i h c l n 3 THPT Trung Gi
13
Cho hàm s y = mx + (m − 1)x2 + (3m − 4)x + 1 có đ th là (Cm ).Tìm t t c các giá tr c a m sao
3
cho trên (Cm ) có đi m mà ti p tuy n t i đó vuông góc v i đư ng th ng (d ) : y = x + 2011
Gi i
y = mx2 + (m + 1)x + 3m − 4 Đ ti p tuy n vuông góc v i (d ) thì y .1 = −1 ⇔ mx2 + (m + 1)x + 3m − 3 =
0(1) có nghi m v i m i x thu c R
−3
TH1: m = 0 ⇒ pt tr thành: −2x − 3 = 0 ⇔ x = V y m = 0 th a mãn
2
TH2: m = 0 ⇒ (1) là phương trình b c 2, v y đ phương trình có nghi m thì:
1 1
∆ = −2m2 + m + 1 ≥ 0 ⇔ − ≤ m ≤ 1, m = 0 V y − ≤ m ≤ 1 là giá tr c n tìm
2 2
Bài 26.
www.mathvn.com
10
- www.MATHVN.com
Cho hàm s y = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) (1).
Tìm m đ đ th hàm s (1) c t Ox t i 3 đi m phân bi t có hoành đ dương.
Gi i
Đ t f (x) = x3 − 3mx2 + 3(m2 − 1)x − (m2 − 1) Có y = 3x2 − 6mx + 3(m2 − 1)
x1 = m − 1
y =0⇔
x2 = m + 1
Do h s c a x2 c a pt y = 0 là 3 và m − 1 < m + 1 nên hàm s đ t c c đ i t i x1 và đ t c c ti u t i x2
Đ th hàm s (1) t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t có hoành đ dương thì ta ph i có:
c
∀m ∈ R
1 − √2 < m < 1
∆y > 0
2
(m − 1)(m2 − 3)(m2 − 2m − 2) > 0
√
y .y < 0
1 2
− 3 < m < −1
⇔ m−1 > 0 ⇔ √ √
x >0
1 3 < m < 1+ 2
x2 > 0 m + 1 > 0
m > 1
1−m < 0
f (0) < 0
√ √
√ √
⇒ 3 < m < 1 + 2. V y các giá tr m th a yêu c u bài toán là m ∈ 3; 1 + 2
Bài 27.
Tìm m đ di n tích hình ph ng gi i h n b i đ th : y = x3 − 3x2 + 3mx + 3m + 4 và tr c hoành có ph n
n m phía trên tr c hoành b ng ph n n m phía dư i tr c hoành
Gi i
Bài 28.
−x − 1
Tìm trên đ th hàm s y = các đi m A, B sao cho ti p tuy n c a đ th hàm s t i đi m A song
x+2 √
song v i ti p tuy n t i đi m B và AB = 8
Gi i
−a − 1 −b − 1
(a = b = −2) thu c đ th hàm s đã cho.
Xét 2 đi m A a; ; B b;
a+2 b+2
−1
Ti p tuy n t i A có h s góc: f (a) =
(a + 2)2
−1
Ti p tuy n t i B có h s góc : f (b) =
(b + 2)2
f (a) = f (b)
Theo bài ta có hpt: √
AB = 8
− 1 1 a=b
=−
(a + 2)2 2
(b + 2)
a + b = −4
⇔ ⇔
2
(a − b)2 + −a − 1 − −b − 1 = √8 1
(a − b)2 1 + =8
a+2 b+2
ab + 2(a + b) + 4
a = −2 − √3
√
a + b = −4
b = −2 + 3
a + b = −4 a = −4 − b
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ √
(16 − 4ab) 1 + 1 b2 + 4b + 1 = 0
=8 ab = 1 a = −2 + 3
ab − 4
√
b = −2 − 3
√√ √√
V y 2 đi m A, B c n tìm là A −2 − 3; 3 + 1 ; B −2 + 3; 3 − 1
√√ √√
ho c A −2 + 3; 3 − 1 ; B −2 − 3; 3 + 1
Bài 29.
www.mathvn.com
11
- www.MATHVN.com x+2
G i D là đư ng th ng đi qua A(1; 0) và có h s góc k. Tìm k đ D c t đ th y = t i 2 đi m phân
x−1
bi t M , N thu c 2 nhánh khác nhau c a đ th và AM = 2AN
Gi i
Do D là đư ng th ng đi qua A(1; 0) và có h s góc là k nên pt D : y = k(x − 1)
Phương trình hoành đ giao đi m c a D và đ th hàm s đã cho là:
x+2
= k(x − 1) ⇔ kx2 − (2k + 1)x + k − 2 = 0(x = 1) (1)
x−1
Đ t t = x − 1 ⇒ x = t + 1 Lúc đó pt (1) tr thành:
k(t + 1)2 − (2k + 1)(t + 1) + k − 2 = 0 ⇔ kt 2 − t − 3 = 0 (2)
Đ D c t đ th hàm s đã cho t i 2 đi m M , N thu c 2 nhánh khác nhau c a đ th thì pt (1) ph i có
2 nghi m x1 ; x2 th a x1 < 1 < x2 ⇔ pt (2) có 2 nghi m t1 ; t2 th a t1 < 0 < t2 ⇔ −3k < 0 ⇔ k > 0 (∗)
−→ −
→
Vì đi m A luôn m trong đo n MN và AM = 2AN ⇒ AM = −2AN ⇒ x1 + 2x2 = 3 (3)
n
x1 + x2 = 2k + 1 (4)
k−1 k+2
k . T (3) và (4) ⇒ x2 = ; x1 =
Theo vi-et có : k−2 k k
x x = (5)
12
k
(k + 2)(k − 1) k − 2 2
⇔ 3k − 2 = 0 ⇔ k =
Thay x1 ; x2 vào (5) có pt: =
2 3
k k
2
Đ i chi u đk (∗) có k = là giá tr c n tìm.
3
Bài 30.
Tìm m đ đư ng th ng qua c c đ i c c ti u c a đ th hàm s y = x3 − 3mx + 2 c t đư ng tròn tâm
I (1; 1) bán kính b ng 1 t i A, B mà di n tích tam giác IAB l n nh t
Gi i
- Có: y = 3x2 − 3m có 2 nghi m phân bi t khi m > 0. Khi đó, t a đ 2 đi m c c tr c a đ th hàm s là:
√ √ √ √
M ( m, 2 − 2m x), N (− m, 2 + 2m x)
- Phương trình đư ng th ng MN là: 2mx + y − 2 = 0
- Đư ng th ng MN c t đư ng tròn tâm I t i A, B mà tam giác IAB có 2.SIAB = IA.IB. sin AIB ≤ 1,
1
d u = x y ra khi AIB = 90o , lúc đó, kho ng cách t I đ n MN b ng √ .
2 √ √
|2m − 1|
1 1 3 3
Do v y ta có phương trình: d (I , MN ) = √ ⇔ √ = √ ⇒ m = 1+ , m = 1−
2 2
4m2 + 1
2 2
Bài 31.
x+3
Cho hàm s y = có đ th là (H ).Vi t phương trình ti p tuy n t i M trên (H ) sao cho ti p
2(x + 1)
tuy n t i M c t hai tr c t a đ Ox, Oy t i hai đi m A, B đ ng th i đư ng trung tr c c a AB đi qua g c
t a đ O.
Gi i
Do tam giác OAB đã vuông t i O mà trung tr c c a AB l i đi qua O nên tam giác OAB ph i vuông cân, đi u
đó có nghĩa là AB t o v i tr c hoành góc 45o , cũng t c là h s góc c a AB b ng −1.
−4
= −1 ⇔ x = 0, x = −2
V y thì, hoành đ ti p đi m c a ti p tuy n là nghi m c a phương trình:
4(x + 1)2
3
V i x = 0 ta có ti p tuy n là: y = −x +
2
5
V i x = −2 ta có ti p tuy n là: y = −x −
2
Bài 32.
1 1
Cho hàm s y = x3 − (m + 1)x2 + mx (m là tham s ) .
3 2
Tìm m đ hàm s có c c đ i và c c ti u đ i x ng qua đư ng th ng d : 72x − 12y − 35 = 0
Gi i
www.mathvn.com
12
- www.MATHVN.com
Ta có: y = x2 − (m + 1)x + m y = 0 ⇔ x2 − (m + 1)x + m = 0 ⇔ x = 1 ∨ x = m
Vì th , đ đ th hàm s có c c đ i và c c ti u, đi u ki n là: y = 0 có hai nghi m phân bi t ⇔ m = 1
1 1 1 1
M t khác: y = x − (m + 1) .y − (m − 1)2 x + m(m + 1)
3 6 6 6
Nên khi đ th hàm s có c c đ i và c c ti u thì đư ng th ng d đi qua hai c c tr này có d ng:
1 1
y = − (m − 1)2 x + m(m + 1)
6 6
35
Đư ng th ng d vi t l i là: y = 6x − 2 Nên hai c c tr đ i x ng nhau qua đư ng th ng d , đi u ki n đ u
1
1 2
tiên là d ⊥ d . Hay: − (m − 1) .6 = −1 ⇔ m = 0 ∨ m = 2
6
* V i m = 0, hàm s đã cho tr thành:
1 1
y = x3 − x2 và y = x2 − x
3 2
1 1 1
Hai đi m c c tr có t a đ : A (0; 0); B 1; − , trung đi m c a AB là I ;− ∈ d nên hai đi m c c
/
6 2 12
tr không đ i x ng nhau qua đư ng th ng d .
* V i m = 2, hàm s đã cho tr thành:
1 3 5 2
y = x3 − x + 2x và y = x2 − 3x + 2 Hai đi m c c tr có t a đ C 1; ; D 2; , trung đi m c a CD
3 2 6 3
39
∈ d nên hai đi m c c tr không đ i x ng v i nhau qua đư ng th ng d .
/
là J ;
2 12
V y không có giá tr nào c a m th a mãn bài toán.
Bài 33.
Cho hàm s y = x3 − 3x2 + 4 có đ th là (C).Ch ng minh r ng khi m thay đ i thì đư ng th ng d : y =
m(x + 1) luôn c t đ th (C) t i m t đi m A c đ nh và tìm m đ đư ng th ng d c t (C) t i ba đi m phân
bi t A, B, C đ ng th i B, C cùng v i g c t a đ O t o thành m t tam giác có di n tích b ng 1.
Gi i
Xét phương trình: x3 − 3x2 + 4 = m(x + 1)
⇔ (x + 1)(x2 − 4x + 4 − m) = 0 ⇔ x = −1; g(x) = x2 − 4x + 4 − m = 0 (1)
Đư ng th ng y = m(x + 1) luôn c t đ th hàm s đã cho t i A(−1; 0), đ nó c t đ th t i 3 đi m phân bi t
thì phương trình (1) ph i có 2 nghi m phân bi t khác -1.
Đi u ki n là: ∆ > 0, g(−1) = 0 ⇔ 0 < m = 9
Khi đó (1) có 2 nghi m phân bi t và đư ng th ng đã cho c t đ th thêm t i
√ √ √ √
B(2 + m; m(3 + m)); C(2 − m; m(3 − m))
|m|
Đ dài BC là: BC = 2 m(1 + m2 )
Kho ng cách t O đ n BC là: d (O; BC) = √
m2 + 1
√
1
Có: SOBC = d (O; BC).BC = m m = 1 ⇔ m = 1
2
Đáp s : m = 1
Bài 34. Đ Th s c trên THTT - Tháng 5/2011
x3 1
Tìm t t c các giá tr c a m đ đ th hàm s : y = − (m + 3) x2 − 2 (m + 1) x + 1 có hai đi m c c
32
tr v i hoành đ l n hơn 1.
Gi i
Ta có: y = x2 − (m + 3) x − 2 (m + 1)
y = 0 ⇔ x2 − (m + 3) x − 2 (m + 1) = 0 (∗)
Có: ∆ = (m + 3)2 + 8 (m + 1) = m2 + 14m + 17 > 0, ∀x ∈ R
Nên đ th hàm s luôn có hai c c tr có hoành đ x1 và x2 là nghi m c a phương trình (∗).
Yêu c u bài toán tương đương v i tìm đi u ki n c a tham s m đ phương trình (∗) có hai nghi m x1 và x2
www.mathvn.com
13
- www.MATHVN.com
x − 1 > 0 (x − 1) + (x − 1) > 0
x > 1
1 1 1 2
⇔ ⇔
th a mãn:
x2 − 1 > 0 (x1 − 1) (x2 − 1) > 0
x2 > 1
m > −1
x + x − 2 > 0 (m + 3) − 2 > 0
1 2
⇔ ⇔ ⇔ ⇔m∈∅
m < − 4
x1 x2 − (x1 + x2 ) + 1 > 0 −2 (m + 1) − (m + 3) + 1 > 0
3
V y không có giá tr nào c a m th a mãn đ bài.
Bài 35.
Tìm hai đi m A, B thu c đ th hàm s y = x3 − 3x + 2 sao cho các ti p tuy n t i A, B có cùng h s góc
và đư ng th ng đi qua A, B vuông góc v i đư ng th ng x + y + 2011 = 0
Gi i
Cách 1 Xét A(a; a3 − 3a + 2); B(b; b3 − 3b + 2)(a = b) thu c đ th hàm s đã cho. Ti p tuy n t i A có h
s góc kA = 3a2 − 3. Ti p tuy n t i B có h s góc kB = 3b2 − 3
Do ti p tuy n t i A và B có cùng h s góc nên kA = kB ⇔ 3a2 − 3 = 3b2 − 3 ⇔ (a − b)(a + b) = 0 ⇔ a = −b
−→
T đó có AB = (b − a; b3 − 3b + 2 − a3 + 3a − 2) = (2b; 2b3 − 6b)
M t khác đư ng th ng d : x + y + 2011 = 0 có → = (1; −1)
−
u
b = 0 ⇒ a = 0(l )
−−→
Vì AB⊥d nên AB.→ = 0 ⇔ 2b(b2 + 4) = 0 ⇔
u
b = ±2 ⇒ a = ±2
V y có 2 đi m A, B v i A(−2; 0), B(2; 4) ho c ngư c l i th a yêu c u bài toán.
Cách 2 -Đi u ki n (1): Phương trình f (x) = k có hai nghi m phân bi t ...(T tìm)
y = x3 − 3x + 2
-T a đ A, B là nghi m c a h
k = 3x2 − 3
k
−2 x+2
- Suy ra phương trình đư ng th ng AB là y =
3
- Đi u ki n vuông góc suy ra k = 9.
- Tìm giao đi m đư ng th ng AB và đ th ta có A(2; 4)., B(−2; 0)
Bài 36. Trích đ ch n đ i tuy n qu c gia c a Hà Tĩnh năm 2008 - 2009
3 − 6x2 + 9x + d c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t x < x < x .
Gi s đ th hàm s y = x 1 2 3
Ch ng minh r ng: 0 < x1 < 1 < x2 < 3 < x3 < 4
Gi i
PT hoành đ giao đi m c a đ th hàm s đã cho v i tr c Ox là
x3 − 6x2 + 9x + d = 0 ⇔ d = −x3 + 6x2 − 9x (∗)
Đ th hàm s y = x3 − 6x2 + 9x + d c t tr c hoành t i 3 đi m phân bi t nên PT (∗) có ba nghi m phân bi t
⇔ đư ng th ng y = d căt đ th hàm s y = −x3 + 6x2 − 9x t i ba đi m phân bi t
⇔ −4 < d < 0 (v đ th đ th y rõ)
Đ t f (x) = x3 − 6x2 + 9x + d
V i −4 < d < 0 thì f (0) = d < 0, f (1) = d + 4 > 0, f (3) = d < 0, f (4) = d + 4 > 0
t đây f (0) f (1) < 0, f (1) f (3) < 0, f (3) f (4) < 0, t tính liên t c c a hàm s ta có đpcm
Bài 37. Trích đ h c sinh gi i c a Hà N i năm 2008 - 2009
3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1 = 0 luôn có nghi m
Ch ng minh r ng v i m i m phương trình x
duy nh t.
Gi i
Xem pt :x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1 = 0 (1) là phương trình hoành đ giao đi m c a đ th
hàm s y = x3 + 3(m + 1)x2 + 3(m2 + 1)x + m3 + 1 (∗) và tr c hoành.
Có y = 3x2 + 6(m + 1)x + 3(m2 + 1) Th c hi n phép chia y cho y ta đư c
www.mathvn.com
14
- www.MATHVN.com
m+1
1
.y − 2mx + m3 − m2
y= x+
3 3
Suy ra pt đư ng th ng đi qua 2 c c tri là y = −2mx + m3 − m2
Đ (1) có m t nghi m duy nh t thì đ th hàm s (∗) c t tr c hoành t i m t đi m duy nh t
pt
∆ ≤0 18m − 8 ≤ 0
⇔ 18m − 8 > 0
⇔ (∗∗)
∆ > 0
(−2mxcd + m3 − m2 )(−2mxct + m3 − m2 ) > 0
ycd .yct > 0
x + x = −2(m + 1)
ct
cd
Theo vi-et thì:
xcd .xct = m2 + 1
2
≤ 9
m
2
m≤ 9
2
Lúc đó hpt (∗∗) tr thành: m > ⇔ 2 ⇒ ∀m
9
m>
9
4m2 (m2 + 1) + (m − 1)2 m3 (4m + 1) > 0
V y ∀m pt đã cho luôn có m t nghi m duy nh t.
Bài 38. Trích đ h c sinh gi i c a Thái Bình năm 2008 - 2009
G i d là đư ng th ng qua M (2; 0) và có h s góc k.
Tìm k đ d c t đ th (C) : y = |x|3 − 3|x| − 2 t i 4 đi m phân bi t.
Gi i
Bài 39. Trích đ h c sinh gi i c a Thái Bình năm 2009 - 2010
Tìm m đ đi m A(3; 5) n m trên đư ng th ng n i 2 đi m c c tr c a đ th hàm s
y = x3 − 3mx2 + 3(m + 6)x + 1
Gi i
y = 3(x2 − 2mx + m + 6)
Hàm s có 2 c c tr ⇔ y = 0 có 2 nghi m phân bi t ⇔ ∆ = m2 − (m + 6) > 0 ⇔ m ∈ (−∞; −2) ∪ (3; +∞)
1
Ta có: y = (x − m)y + 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + 1
3
Hoành đ 2 đ êm c c tr c a hàm s là nghi m c a y = 0 nên tung đ 2 c c tr tho mãn:
y = 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + 1
Do đó đây cũng là pt đth ng đi qua 2 đi m c c tr c a đ th hàm s
Theo đ ta có: A(3; 5) ∈ (d ) : y = 2(−m2 + m + 6)x + m2 + 6m + 1 ⇔ 5 = 6(−m2 + m + 6) + m2 + 6m + 1
m=4
⇔ 5m2 − 12m − 32 = 0 ⇔ 8 Đ i chi u đk ta nh n m = 4
m=−
5
Bài 40. Trích đ h c sinh gi i c a Hà N i năm 2009 - 2010
Vi t phương trình ti p tuy n c a đ th hàm s y = (x − 1)(x3 + x2 + 1) bi t ti p tuy n ti p xúc v i đ
th t i 2 đi m phân bi t.
Gi i
Ta cóy = f (x) = x4 − x2 + x − 1 ⇒ f (x) = 4x3 − 2x + 1
G i (d ) là ti p tuy n ti p xúc v i đ th hàm s t i hai ti p đi m A(a; f (a)), B(b; f (b)), a = b
f (b) − f (a)
Ta có f (a) = f (b) = vì đ u là hsg c a đư ng th ng (d )
b−a
f (a) = f (b) ⇔ 4a3 − 2a + 1 = 4b3 − 2b + 1
⇔ (a − 1)(2(a2 + ab + b2 ) − 1) = 0 ⇔ 2(a2 + ab + b2 ) − 1 = 0 (1)(do a = b)
f (b) − f (a) f (b) − f (a)
f (a) + f (b)
⇔
T đó ta có f (a) = =
b−a b−a
2
www.mathvn.com
15
- www.MATHVN.com
(4a3 − 2a + 1) + (4b3 − 2b + 1)
= (a2 + b2 )(a + b) − (a + b) + 1
⇔
2
⇔ 2(a3 + b3 ) − (a + b) + 1 = (a2 + b2 )(a + b) − (a + b) + 1
1
⇔ (a + b)(a − b)2 = 0 ⇔ a− = b thay vào (1) ta đư c a = ± √ .
2
Đ n đây là suy ra đư c PTtt (d )
Bài 41.
Cho hàm s y = x3 − 2(m + 2)x2 + 7(m + 1)x − 3m − 12 (1) (m là tham s ). Tìm m đ đ th hàm s
2 2 2
(1) c t tr c hoành t i ba đi m phân bi t có hoành đ x1 ; x2 ; x3 th a x1 + x2 + x3 + 3x1 x2 x3 > 53
Gi i
Bài 42. Trích đ h c sinh gi i Đà N ng 2010
V i m i tham s m ∈ R, g i (Cm ) là đ th c a hàm s : y = x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 (1).
CMR: khi m thay đ i, đư ng th ng (∆m ) : y = mx − m2 luôn c t (Cm ) t i m t đi m A có hoành đ không
đ i. Tìm m đ (∆m ) còn c t (Cm ) t i hai đi m n a khác A và ti p tuy n c a (Cm ) t i hai đi m đó song
song v i nhau.
Gi i
Phương trình hoành đ giao đi m c a (Cm ) và đư ng th ng ∆m
x3 − (3m − 1)x2 + 2m(m − 1)x + m2 = mx − m2
x=1
⇔ (x − 1)(x2 − 3mx + 2m2 ) = 0 ⇔
f (x) = x2 − 3mx + 2m2 = 0(∗)
V i x = 1 ⇒ y = m − m2 ⇒ A(1; m − m2 ) c đ nh
Đ ∆m c t (Cm ) t i 2 đi m B, C khác đi m A thì pt (∗) ph i có 2 nghi m phân bi t xB ; xC khác 1
∆ = 9m2 − 8m2 > 0 1
⇔ ⇒ m = 0; ; 1 (i)
2
2=0
f (1) = 1 − 3m + 2m
x + x = 3m
B C
Lúc đó theo vi-et có:
xB .xC = 2m2
2
Ti p tuy n t i B có h s góc kB = 3xB − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1)
2
Ti p tuy n t i C có h s góc kC = 3xC − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1)
Vì ti p tuy n t i B, C song song nên kB = kC
2 2
⇔ 3xB − 2(3m − 1)xB + 2m(m − 1) = 3xC − 2(3m − 1)xC + 2m(m − 1)
2
⇔ 3(xB + xC ) = 2(3m + 1) vì xB = xC ⇔ 3m = 2 ⇔ m = th a đk (i)
3
2
V y m = là giá tr c n tìm.
3
Bài 43.
Cho hàm s y = x3 − 2x2 + (m − 2)x + 3m (m là tham s ). Tìm m đ ti p tuy n có h s góc nh nh t
55
c a đ th hàm s đã cho đi qua đi m A 1; −
27
Gi i
ta có : ti p tuy n hàm b c 3 có h s góc nh nh t chính là ti p tuy n t i đi m u n c a đ th (C) chú ý là
cái này ch là nh n xét v i các b n đã h c chương trình cũ ) còn v i chương trình m i thì ta s ph i thêm 1
tí như sau : y = 3x2 − 4x + m − 2 ti p tuy n có h s góc nh nh t tương đương v i vi c là ta ph i tìm đư c
đi m mà t i đó thì ymin đ t y = g(x) ta có : g (x) = 6x − 4
2 2 2 11m 52
g (x) = 0 ⇒ x = l p b ng bi n thiên thì s th y ngay gmin (x) khi x = . Đi m u n I = −
;
3 3 33 27
www.mathvn.com
16
- www.MATHVN.com
10 2 11m 52
phương trình ti p tuy n t i đi m u n là : y = m − x− −
+ (d )
3 3 3 27
10 1 11m 1 1
vì đi m a ∈ (d ) nên ta có phương trình m − =− ⇔ m=
+
3 3 3 9 4
Bài 44.
x+2
Cho hàm s y = có đ th là (H ). Tìm đi m M thu c (H ) sao cho ti p tuy n t i M c t 2 đư ng
x−1
ti m c n c a (H ) t i 2 đi m A, B sao cho đư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có bán kính nh nh t v i
I là giao đi m c a hai đư ng ti m c n.
Gi i
2 đư ng ti m c n là x = 1, y = 1 Giao 2 đư ng ti m c n là I (1; 1) G i M (xo ; yo ) Suy ra phương trình
−3(x − xo ) xo + 2
ti p tuy n t i M là: y = + Phương trình ti p tuyên c t 2 đư ng ti m c n t i 2 đi m:
(xo − 1)2 xo − 1
xo + 5
), B(2xo − 1; 1)
A(1;
xo − 1
(x − 1)2 = (x − 2xo + 1)2
AO2 = IO2
G i tâm đư ng tròn ngo i ti p tam giác ABI là O(x; y) ⇒ ⇔ ⇔
(y − 1)2 = (y − xo + 5 )2
BO2 = IO2
xo − 1
x = xo
y = xo + 2
xo − 1
xo + 2 9 9
) ⇒ R2 = IO2 = (xo − 1)2 + Theo cô-si: (xo − 1)2 + ≥6
V y O(xo ; 2 (xo − 1)2
xo − 1 (xo − 1)
√ √ √
9
V y Rmin = 6 ⇔ (xo − 1)2 = ⇔ xo = 1 + 3, xo = 1 − 3
(xo − 1)2
√ √
√ 3+ 3 √ 3−3
⇒ M (1 + 3; √ ), M (1 − 3; √ )
3 3
Bài 45.
Cho hàm: y = x4 + 4mx3 + 3 (m + 1) x2 + 1. Tìm m đ hàm s có c c ti u mà không có c c đ i.
Gi i
Đi u ki n: x ∈ R Khi đó: f (x) = 2 2x3 + 6mx2 + 3(m + 1)x = 2x(2x2 + 6mx + 3m + 3)
x=0
f (x) = 0 ⇔
2x2 + 6mx + 3m + 3 = 0(1)
vì f (x) = 0 có x = 0 là 1 nghi m nên đ f (x) ch có c c ti u thì (1) có 1 nghi m kép ho c vô nghi m t c
⇔ ∆ ≤ 0 ⇔ (3m)2 − 2(3m + 3) ≤ 0 ⇔ 3m2 − 2m − 2 ≤ 0
√ √
1− 7 1+ 7
⇔m∈ ;
3 3
Bài 46. Trích đ thi th Trung Giã l n 3
x+1
Tìm các giá tr c a m đ đư ng th ng: d : 2mx − 2y + m + 1 = 0 c t đ th hàm s y = t i 2 đi m
2x + 1
phân bi t A, B sao cho bi u th c: P = OA2 + OB2 đ t giá tr nh nh t.
Gi i
xét phương trình tương giao gi a (d ) và (C) :
m−1
m+1 x+1
⇔ 2mx2 + 2mx +
mx + = = 0 (1)
2x + 1
2 2
−1
hàm s có 2 c c tr ⇔ (1) có 2 nghi m phân bi t th o mãn x1 = x2 = ⇔m>0
2
√ √
2
1 1 m1 m1
(1) ⇔ 2x x + ⇒ x1 = − và x2 = − −
=
2 4m 2m 2 2m 2
www.mathvn.com
17
- √ √
www.MATHVN.com
m 11 m 11
m m
− ; +√ − ; −√
; B= −
A=
ta có :
2m 2 2 2m 2 2
m m
4m2 + 2m + 1
P = OA2 + OB2 = = f (m)
d dàng tính đư c
2m
7 1
xét hàm f (m) trên (0; + ∝) ta đư c MIN f (m) = = f (
2 4
Bài 47.
x2 + x + 1
Cho hàm: y = Tìm trên tr c tung các đi m mà qua nó ch có 1 đư ng ti p tuy n đ n đ th
x−1
hàm s trên.
Gi i
x2 + x + 1 3
Mxđ: D = R \ {1}. Có y = = x+2+
x−1 x−1
Xét đi m A(0; a) ∈ Oy. Phương trình đư ng th ng d đi qua A có h s góc k: y = kx + a
x + 2 + 3 = kx + a (1)
x−1
Đ d là ti p tuy n c a đ th hàm s đã cho thì h pt : có nghi m.
3
1 − =k (2)
(x − 1)2
3
= k(x − 1) + k + a (3)
T (1) có :x + 2 +
x−1
k+a−3
3 3 1
= (x − 1) 1 − +k+a ⇔
Thay (2) vào (3) đư c : x + 2 + = (4)
2
x−1 (x − 1) x−1 6
k+a−3 2
= k ⇔ 36 − 3(k + a − 3)2 = 36k
Thay (4) vào (2) có :1 − 3
6
⇔ f (k) = k2 + 2(a + 3)k + a2 − 6a − 3 = 0 (∗)
Đ t A k đúng 1 ti p tuy n đ n đ th hàm s đã cho thì pt (∗) có nghi m kép khác 3 − a ho c có 2 nghi m
phân bi t trong đó có 1 nghi ng 3 − a
mb
a = −1
∆ = 0 12a + 12 = 0
f
f (3 − a) = 0 −12a + 24 = 0 a=2
a = −1
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
a=2
a > −1
∆f > 0 12a + 12 > 0
f (3 − a) = 0 −12a + 24 = 0 f (a = 2)
V y có 2 đi m A th a yêu c u bài toán là A (0; −1) ; A (0; 2)
Bài 48.
mx − 4m + 3
Cho hàm s y = (Cm )
x−m
1) Tìm đi m c đ nh c a h (Cm )
3
2) T các đi m c đ nh c a h đ th vi t các đư ng th ng đi qua chúng v i h s góc k = tính di n
2
tích hình ph ng gi i h n b i các đư ng th ng v a l p và tr c Ox
Gi i
G i K (xo ; yo ) là đi m c đ nh mà đ th hàm s luôn đi qua ∀m = 1
mxo − 4m + 3
có nghi m ∀m = 1
Lúc đó pt: yo =
xo − m
⇔ xo yo − myo = mxo − 4m + 3 , ∀m = 1 ⇔ (xo + yo 4)m + 3 − xo yo = 0 , ∀m = 1
−
x = 1
o
yo = 3
x + y − 4 = 0 x = 4 − y
o o o o
⇔ ⇔ ⇔
y2 − 4yo + 3 = 0
3 − xo yo = 0
xo = 3
o
yo = 1
V y đ th hàm s luôn đi qua 2 đi m c đ nh : K1 (1; 3) ; K2 (3; 1)
www.mathvn.com
18
- www.MATHVN.com
3 3 3 3
⇒pt d1 : y = (x − 1) + 3 = x +
G i d1 là đư ng th ng đi qua K1 và có h s góc k =
2 2 2 2
3 3 3 7
G i d2 là đư ng th ng đi qua K2 và có h s góc k = ⇒pt d2 : y = (x − 3) + 1 = x −
2 2 2 2
Nh n xét th y d1 ; d2 song song. Di n tích hình ph ng gi i h n c n tính chính là di n tích hình thang
7
K1 K2 K3 K4 v i K3 = d2 ∩ Ox ⇒ K3 ; 0 ; K4 = d1 ∩ Ox ⇒ K4 (−1; 0)
3
(K1 K4 + K2 K3 ) h
Có SK1 K2 K3 K4 =
2
3 7
√
−3−
√
10 13
2 2
= √ K1 K4 = 13; K2 K3 =
V i h = d(d1 ,d2 ) = d(K1 ,d2 ) =
3
13
32
+ (−1)2
2
√
√ 13 10
√
13 +
3 13 20
Do đó SK1 K2 K3 K4 = = (đvdt)
2 3
Bài 49.
Cho hàm s y = x3 − 3(2m2 − 1)x2 + 3(m2 − 1)x + 1 − m3 (m là tham s ) có đ th là (Cm ). Tìm m đ
đ th (Cm ) có hai đi m phân bi t đ i x ng nhau qua g c t a đ .
Gi i
x + x = 0
a b
+) G i 2 đi m c n tìm là A = (xa ; ya ); B = (xb ; yb ) khi đó ta có
ya + yb = 0
t phương trình 2 ta có : xa + xb − 3(2m2 − 1)(xa + xb ) + 3(m2 − 1)(xa + xb ) + 2 − 2m3 = 0
3 3 2 2
m3 − 1
⇔ 6(2m2 − 1)xa xb + 2 − 2m3 = 0 (vì xa + xb = 0) ⇔ xa xb =
6m2 − 3
3 −1
m
d th y xa ; xb lúc này là nghi m c a phương trình : X 2 + 2 = 0 (1)
6m − 3
m3 − 1
đ có 2 đi m A; B thì (1) có 2 nghi m phân bi t ⇔
nguon tai.lieu . vn
