Xem mẫu
- danghainamn@yahoo.com.vn
20 ñ thi ñ i h c và ñáp án chi ti t
ð1
I. PH N CHUNG
(C m )
Câu 1: ( 2 ñi m) Cho hàm s y = x 4 + 2(m − 2) x 2 + m 2 − 5m + 5
1, Kh o sát s bi n thiên và v ñ th hàm s khi m = 1.
2, V i nh ng giá tr nào c a m thì ñ th ( Cm) có ñi m c c ñ i và ñi m c c ti u, ñ ng th i các
ñi m c c ñ i và ñi m c c ti u l p thành m t tam giác ñ u.
Câu 2: ( 2 ñi m) 1, Gi i phương trình: (1 + cos x )(1 + cos 2 x)(1 + cos 3 x) =
1
2
2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2+ y ( x − 2 x + 1) = 6
2
2, Gi i h phương trình:
log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = 1
(x − x )
1
1 33
Câu 3: ( 2 ñi m ) 1, Tính tích phân: I = ∫ dx .
x4
1
3
2, Cho các s th c dương a, b, c tho mãn ab + bc + ca = abc . Ch ng minh r ng:
a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4
+ + ≥1
( )
ab a 3 + b 3 bc(b 3 + c 3 ) ca (c 3 + a 3 )
C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng
2 x − y − 2 = 0
tr×nh: 2 x + y + z − 1 = 0 v ®−êng th¼ng ( d) cã ph−¬ng tr×nh:
y + 2z + 2 = 0
1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) v (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) v (P).
2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆ ) ®i qua A, (∆ ) n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®−êng
th¼ng (∆ ) v ( d) b»ng 450.
II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ l m mét trong hai phÇn)
C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( D nh cho THPT kh«ng ph©n ban)
1, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B9 4; 1) v tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng cã
ph−¬ng tr×nh: 3 x − y + 9 = 0 .
() () () nn
12 22 n2
2, Víi n l sè nguyªn d−¬ng, chøng minh hÖ thøc: C n + 2 C n + ... + n C n = C 2 n
2
C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( D nh cho THPT ph©n ban)
1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 4 x .
1 1 8
2 4
2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn
l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD v BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.
EBK.
ðÁP ÁN ð 1
I. PhÇn chung
(C m )
C©u 1: ( 2 ®iÓm) Cho h m sè y = x 4 + 2(m − 2) x 2 + m 2 − 5m + 5
1, Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè khi m = 1.
2, Víi nh÷ng gi¸ trÞ n o cña m th× ®å thÞ ( Cm) cã ®iÓm cùc ®¹i v ®iÓm cùc tiÓu, ®ång thêi c¸c
®iÓm cùc ®¹i v ®iÓm cùc tiÓu lËp th nh mét tam gi¸c ®Òu.
§k ®Ó ( Cm) cã 3 ®iÓm cùc trÞ l m < 2. C¸c ®iÓm cùc trÞ cña ( Cm) l
( )( )
A(0; m 2 − 5m + 5); B − 2 − m ;1 − m ; C 2 − m ;1 − m
1
- danghainamn@yahoo.com.vn
§¸p sè: m = 2 − 3 3
C©u 2: ( 2 ®iÓm) 1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: (1 + cos x )(1 + cos 2 x)(1 + cos 3 x) =
1
2
2
3x
x 1
§−a ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng: cos . cos x. cos =
2
2 16
Sö dông c«ng thøc biÕn ®æi tÝch th nh tæng gi¶i hai ph−¬ng tr×nh:
x 3x 1 x 3x 1
= v cos . cos x. cos =−
cos . cos x. cos
2 24 2 2 4
π kπ 2π
(k , m ∈ Z )
+ m 2π
Ta ®−îc c¸c hä nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh ® cho l : x = + ;x = ±
4 2 3
2 log1− x (− xy − 2 x + y + 2) + log 2+ y ( x 2 − 2 x + 1) = 6
2, Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh:
log1− x ( y + 5) − log 2+ y ( x + 4) = 1
− 4 < x < 1, x ≠ 0
§K
y > −2; y ≠ −1
§−a ph−¬ng tr×nh thø nhÊt cña hÖ vÒ d¹ng: log1− x (2 + y ) + log 2+ y (1 − x ) = 2
§Æt t = log1− x (2 + y ) , t×m ®−îc t = 1, kÕt hîp víi ph−¬ng tr×nh thø hai cña hÖ,®èi chiÕu víi ®iÒu
kiÖn trªn, t×m ®−îc nghiÖm ( x; y ) = (− 2;1) .
(x − x )
1
1 33
C©u 3: ( 2 ®iÓm ) 1, TÝnh tÝch ph©n: I = ∫ dx .
x4
1
3
1
1
1 3 1 1
§−a I vÒ d¹ng: I = ∫ 2 − 1 . 3 dx . Dïng ph−¬ng ph¸p ®æi biÕn sè, ®Æt t = 2 − 1
1 x x x
3
§¸p sè: I = 6.
2, Cho c¸c sè thùc d−¬ng a, b, c tho¶ m n ab + bc + ca = abc . Chøng minh r»ng:
a4 + b4 b4 + c4 c4 + a4
+ + ≥1
( )
ab a 3 + b 3 bc(b 3 + c 3 ) ca (c 3 + a 3 )
( ) ( )
Tõ a + b ≥ a 3b + ab 3 ⇒ 2 a 4 + b 4 ≥ a 4 + a 3b + b 4 + ab 3 = a 3 + b 3 (a + b ) .
4 4
a +b a+b 11 1
4 4
≥ = + .
VËy
( )
ab a + b
3 3
2ab 2 a b
T−¬ng tù cho c¸c bÊt ®¼ng thøc cßn l¹i, suy ra ®pcm.
C©u 4: ( 2 ®iÓm ) Trong kh«ng gian víi hÖ trôc to¹ ®é §Òc¸c Oxyz, cho mÆt ph¼ng (P) cã ph−¬ng
2 x − y − 2 = 0
tr×nh: 2 x + y + z − 1 = 0 v ®−êng th¼ng ( d) cã ph−¬ng tr×nh:
y + 2z + 2 = 0
1, T×m to¹ ®é giao ®iÓm A cña ( d) v (P). TÝnh sè ®o gãc t¹o bëi ( d) v (P).
§¸p sè. 1) A(1;0;−1); ∠(d , ( P ) ) = 30 0 .
2, ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng (∆ ) ®i qua A, (∆ ) n»m trong (P) sao cho gãc t¹o bëi hai ®−êng
th¼ng (∆ ) v ( d) b»ng 450.
Hai ®−êng th¼ng tho¶ m n ®Ò b i cã ph−¬ng tr×nh:
(∆1 ) : x − 1 = y = z + 1 ; (∆ 2 ) : x − 1 = y = z + 1
− 2 + 3 −1+ 3 5 − 3 3 − 2 − 3 −1− 3 5 + 3 3
2
- danghainamn@yahoo.com.vn
II. PhÇn riªng ( ThÝ sinh chØ l m mét trong hai phÇn)
C©u 5A: ( 2 ®iÓm ) ( D nh cho THPT kh«ng ph©n ban)
1. ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ®i qua hai ®iÓm A( 2;5 ), B(4; 1) v tiÕp xóc víi ®−êng th¼ng cã
ph−¬ng tr×nh: 3 x − y + 9 = 0 .
Hai ®−êng trßn tho¶ m n ®Ò b i cã ph−¬ng tr×nh:
(C1 ) : (x − 1)2 + ( y − 2)2 = 10; (C 2 ) : (x − 17 )2 + ( y − 10)2 = 250
2, Víi n l sè nguyªn d−¬ng, chøng minh hÖ thøc: (C n ) + 2(C n ) + ... + n(C n ) = C 2 n
nn
12 22 n2
2
n− k
§Æt S l vÕ tr¸i hÖ thøc cÇn chøng minh, l−u ý C n = C n = 1 v C n = C n ta thÊy:
0 n k
() () ( ) () (1)
2 2 2 2
+ .... + n C n −1
2S = n C n + n Cn + n Cn
1 2 n n
Tõ (1 + x ) (1 + x ) = (1 + x ) , ∀x ∈ R . So s¸nh hÖ sè cña x n trong khai triÓn nhÞ thøc Newton cña
n n 2n
v (1 + x ) ta suy ra: (C n ) + (C n ) + ... + (C n ) = C 2 n
(1 + x )n (1 + x )n (2)
2 2 2
2n 1 2 n n
Tõ (1) v (2) cã ®pcm.
C©u 5B: ( 2 ®iÓm) ( D nh cho THPT ph©n ban)
1, Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log 2 ( x + 3) + log 4 ( x − 1) = log 2 4 x .
1 1 8
2 4
§k x > 0 v x ≠ 1 . §−a ph−¬ng tr×nh vÒ d¹ng log 2 ( x + 3) + log 2 x − 1 = log 2 (4 x ) .
XÐt hai kh¶ n¨ng 0 < x < 1 v x > 1, ®èi chiÕu víi ®iÒu kiÖn ta t×m ®−îc hai nghiÖm cña ph−¬ng
tr×nh l :
x = −3 + 2 3 v x = 3.
2, Cho h×nh chãp tø gi¸c ®Òu S. ABCD cã c¹nh ®¸y b»ng a, chiÒu cao còng b»ng a. Gäi E, K lÇn
l−ît l trung ®iÓm cña c¸c c¹nh AD v BC. TÝnh b¸n kÝnh cña mÆt cÇu ngo¹i tiÕp h×nh chãp S.
EBK.
a 29
§¸p sè: R = .
8
ð2
2x − 3 có ñ th là (C)
Câu 1: Cho hàm s y =
x−2
1) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s trên.
2) Tìm trên (C) nh ng ñi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t 2 ti m c n c a (C) t i A,
b sao cho AB ng n nh t
Câu 2:
1/.Gi i phương trình: 2 2 sin( x − π ).cos x = 1
12
8x y + 27 = 18y3 (1)
33
2/.Gi i h phương trình: 2
4x y + 6x = y (2)
2
Câu 3:
π
1
2 2
1) Tính tích phân I = π sin x ⋅ sin x +
∫ dx
2
6
2) Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho phương trình sau có nghi m th c:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1)
3
- danghainamn@yahoo.com.vn
Câu 4: Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng:
a b c
+ + ≥1
8c + 1 8a + 1 8b3 + 1
3 3
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác ñ u
c nh a. Tính theo a kho ng cách t B ñ n m t ph ng (SAC).
Ph n riêng:
1.Theo chương trình chu n:
Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0;
kho ng cách t C ñ n (∆ ) b ng 2 l n kho ng cách t B ñ n (∆). Tìm A, C bi t C thu c tr c tung.
Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai ñư ng th ng :
x = 1 + 2t
3 − y z+ 2
(d1) x + 1 = = ; (d2) y = 2 + t (t ∈ ) . Vi t phương trình tham s c a ñư ng th ng ∆
1 1 2 z = 1+ t
n m trong mp(P) và c t c 2 ñư ng th ng (d1) , (d2)
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu 6b: Cho ∆ ABC có di n tích b ng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), tr ng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0.
tìm bán kinh ñư ng tròn n i ti p ∆ ABC.
Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho ñư ng th ng (d) là giao tuy n c a 2 m t ph ng:
(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và m t c u (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0.
Tìm t t c các giá tr c a m ñ (S) c t (d) t i 2 ñi m MN sao cho MN= 8.
ðÁP ÁN ð 2
2x − 3 có ñ th là (C)
Câu 1: Cho hàm s y =
x−2
1) Kh o sát s bi n thiên và v ñ th (C) c a hàm s trên.
2) Tìm trên (C) nh ng ñi m M sao cho ti p tuy n t i M c a (C) c t 2 ti m c n c a (C) t i A,
B sao cho AB ng n nh t
2x0 − 3
)∈ (C) .
G i M(xo;
x0 − 2
− x + 2x0 − 6x0 + 6
2
Phương trình ti p tuy n t i M: (∆) y =
( x0 − 2)2 ( x0 − 2)2
2x0 − 2
(∆ ) ∩ TCð = A (2; )
x0 − 2
(∆ ) ∩ TCN = B (2x0 –2; 2)
uuu
r cauchy
AB = (2x0 − 4; −2 ) ⇒ AB = 4( x0 − 2)2 +
( x0 − 2)2 ≥
4 22
x0 − 2
x0 = 3 → M (3;3)
⇒ AB min = 2 2 ⇔
xo = 1 → M (1;1)
Câu 2:
1) Gi i phương trình: 2 2 sin( x − π ).cos x = 1
12
4
- danghainamn@yahoo.com.vn
x = π + kπ
3
phương trình ⇔ 2(cosx–sinx)(sinx– 3 cosx)=0 ⇔ (k ∈ )
x = π + kπ
4
8x y + 27 = 18y (1)
33 3
2).Gi i h phương trình: 2
4x y + 6x = y (2)
2
(1) ⇒ y ≠ 0
3
8x3 + 27 = 18 (2x)3 + 3 = 18
y3
y
H ⇔ 2 ⇔
2x. 3 2x + 3 = 3
4x + 6 x = 1
y y2
y y
a + b = 3
a3 + b3 = 18
ð t a = 2x; b = 3 . Ta có h : ⇔
ab(a + b) = 3 ab = 1
y
→ H ñã cho có 2 nghi m 3 − 5 ; 6 , 3 + 5 ; 6
3+ 5 4 3− 5
4
Câu 3:
π
1
2 2
1) Tính tích phân I = π sin x ⋅ sin x +
∫ dx
2
6
π
3
3
2
− cos 2 x ⋅ d (cos x) . §Æt cos x = ⋅ cos u
I =−∫
2
π 2
6
π
32
= ⋅ ∫ sin 2 udu = (π + 2 )
3
⇒I
2π 16
4
2) Tìm các giá tr c a tham s th c m sao cho phương trình sau có nghi m th c:
(m - 3) x + ( 2- m)x + 3 - m = 0. (1)
ðk x ≥ 0. ñ t t = x ; t ≥ 0
(1) tr thành (m–3)t+(2-m)t2 +3-m = 0 ⇔ m = 2t 2 − 3t + 3 (2)
2
t − t +1
Xét hàm s f(t) = 2t 2 − 3t + 3 (t ≥ 0)
2
t − t +1
L p b ng bi n thiên
(1) có nghi m ⇔ (2) có nghi m t ≥ 0 ⇔ 5 ≤ m ≤ 3
3
Câu 4: Cho ba s th c dương a, b, c th a mãn abc = 1. Ch ng minh r ng:
a b c
+ + ≥1
8c + 1 8a + 1 8b3 + 1
3 3
cauchy
a a
8c3 + 1 = (2c + 1)(4c2 − 2c + 1) ≤ 2c2 + 1 ⇒ ≥2
8c + 1 2c + 1
3
5
- danghainamn@yahoo.com.vn
b b c ≥c
≥2;
Tương t ,
2a + 1 8b3 + 1 2b2 + 1
8a + 1
3
a + b + c ≥ 1 (1)
Ta s ch ng minh:
2c + 1 2a2 + 1 2b2 + 1
2
Bñt(1) ⇔ 4(a3b2+b3a2+c3a2) +2(a3+b3+c3 )+2(ab2+bc2+ca2)+( a+b+c) ≥
≥ 8a2b2c2 +4(a2b2 +b2c2 +c2a2) +2 (a2 +b2 +c2 )+1 (2)
2a3b2 +2ab2 ≥ 4a2b2; …. (3)
Ta có:
2(a3b2+b3a2+c3a2) ≥ 2.3. a5b5c5 =6 (do abc =1)(4)
3
a3+b3+c3 ≥ 3abc =3 = 1 +2 a2b2c2 (5)
a3 +a ≥ 2a2; …. (6)
Công các v c a (3), (4), (5), (6), ta ñư c (2).
D u b ng x y ra khi a=b=c=1
Câu 5: Cho hình chóp S. ABC có góc ((SBC), (ACB)) =600, ABC và SBC là các tam giác ñ u
c nh a. Tính theo a kho ng cách t B ñ n m t ph ng (SAC).
G i M là trung ñi m c a BC và O là hình chi u c a S lên AM. Suy ra:
SM =AM = a 3 ; AMS = 600 và SO ⊥ mp(ABC)
2
3
⇒ V(S.ABC) = 1 dt ( ABC ).SO = a 3
⇒ d(S; BAC) = SO = 3a
4 3 16
M t khác, V(S.ABC) = 1 dt ( SAC ).d ( B; SAC )
3
2
∆SAC cân t i C có CS =CA =a; SA = a 3 ⇒ dt(SAC) = a 13 3
2 16
3V 3a
=
V y d(B; SAC) =
dt ( SAC ) 13
Ph n riêng:
1.Theo chương trình chu n:
Câu 6a: Cho ∆ ABC có B(1;2), phân giác trong góc A có phương trình (∆ ) 2x +y –1 =0;
kho ng cách t C ñ n (∆ ) b ng 2 l n kho ng cách t B ñ n (∆). Tìm A, C bi t C thu c tr c tung.
G i H, I l n lư t là hình chi u c a B, C lên (∆).
M là ñ i x ng c a B qua ∆ ⇒ M ∈ AC và M là trung ñi m c a AC.
( ) ( )
(BH): x –2y + 3 =0 → H −1; 7 → M −7 ; 4
55 55
y0 = 7
BH = 3 5 ⇒CI = 6 5 ; C∈ Oy ⇒ C(0; y0) ⇒
yo = −5
5 5
( )
C(0; 7) ⇒ A −14 ; −27 ∉ (∆)→lo i
5 5
( )
(0; –5) ⇒ A −14 ; 33 ∈ (∆)→ nh n.
55
Câu 7a: Trong không gian Oxyz cho mp(P): x –2y +z -2 =0 và hai ñư ng th ng :
x = 1 + 2t
x + 1 = 3 − y = z + 2 ; (d ) y = 2 + t (t ∈ ) . Vi t phương trình tham s c a ñư ng
2
(d1)
1 1 2 z = 1+ t
th ng ∆ n m trong mp(P) và c t c 2 ñư ng th ng (d1) , (d2)
6
- danghainamn@yahoo.com.vn
x = 1 − 2t
(P) ∩ (d1) = A(1;1;2); (P) ∩ (d2) = B(3;3;2)→ (∆) y = 1 − 2t (t ∈ )
z = 2
2.Theo chương trình nâng cao:
Câu 6b: Cho ∆ ABC có di n tích b ng 3/2; A(2;–3), B(3;–2), tr ng tâm G ∈ (d) 3x –y –8 =0.
tìm bán kinh ñư ng tròn n i ti p ∆ ABC.
a − b − 5 2S∆ABC
=
C(a; b) , (AB): x –y –5 =0 ⇒ d(C; AB) =
AB
2
a − b = 8(1)
⇒ a− b− 5 = 3⇔
a − b = 2(2)
( )
Tr ng tâm G a + 5 ; b − 5 ∈ (d) ⇒ 3a –b =4 (3)
3 3
3
(1), (3) ⇒ C(–2; 10) ⇒ r = S =
2 + 65 + 89
p
3
(2), (3) ⇒ C(1; –1) ⇒ r = S =
2+2 5
p
Câu 7b: Trong không gian Oxyz cho ñư ng th ng (d) là giao tuy n c a 2 m t ph ng:
(P): 2x–2y–z +1 =0, (Q): x+2y –2z –4 =0 và m t c u (S): x2 +y2 +z2 +4x –6y +m =0.
Tìm t t c các giá tr c a m ñ (S) c t (d) t i 2 ñi m MN sao cho MN= 8.
(S) tâm I(-2;3;0), bán kính R= 13 − m = IM (m < 13)
G i H là trung ñi m c a MN ⇒ MH= 4 ⇒ IH = d(I; d) = − m − 3
r uur
u; AI
r
(d) qua A(0;1;-1), VTCP u = (2;1; 2) ⇒ d(I; d) = r = 3
u
− m − 3 =3 ⇔ m = –12( th a ñk)
V y:
ð3
A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
Câu I. (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , v i m là tham s th c.
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ñã cho ng v i m = 1 .
2. Xác ñ nh m ñ hàm s ñã cho ñ t c c tr t i x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 .
Câu II. (2,0 ñi m)
π
1 sin 2 x
cot x + = 2 sin( x + ) .
1. Gi i phương trình:
sin x + cos x 2
2
2. Gi i phương trình: 2 log 5 (3 x − 1) + 1 = log 3 5 (2 x + 1) .
x2 +1
5
Câu III. (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ dx .
x 3x + 1
1
Câu IV. (1,0 ñi m) Cho hình lăng tr tam giác ñ u ABC . A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0).
Tìm m bi t r ng góc gi a hai ñư ng th ng AB ' và BC ' b ng 60 0 .
Câu V. (1,0 ñi m) Cho các s th c không âm x, y, z tho mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá tr l n
nh t c a bi u t h c
7
- danghainamn@yahoo.com.vn
5
A = xy + yz + zx + .
x+ y+z
B. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n a, ho c b).
a. Theo chương trình Chu n:
Câu VIa. (2,0 ñi m) 1.Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 6) ,
phương trình các ñư ng th ng ch a ñư ng cao và trung tuy n k t ñ nh C l n lư t là
2 x − y + 13 = 0 và 6 x − 13 y + 29 = 0 . Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam giác ABC .
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) .
Tìm to ñ ñ nh Q bi t r ng ñ nh N n m trong m t ph ng (γ ) : x + y − z − 6 = 0.
Câu VIIa. (1,0 ñi m) Cho t p E = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. T các ch s c a t p E l p ñư c bao nhiêu
s t nhiên ch n g m 4 ch s ñôi m t khác nhau?
b. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VIb. 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, xét elíp ( E ) ñi qua ñi m M (−2; − 3) và có
phương trình m t ñư ng chu n là x + 8 = 0. Vi t phương trình chính t c c a ( E ).
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho các ñi m A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và m t
ph ng (α ) : x + 2 y + 2 = 0. Tìm to ñ c a ñi m M bi t r ng M cách ñ u các ñi m A, B, C và
m t ph ng (α ).
Câu VIIb. (1,0 ñi m) Khai tri n và rút g n bi u th c 1 − x + 2(1 − x) 2 + ... + n(1 − x) n thu ñư c ña
th c P ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x n . Tính h s a8 bi t r ng n là s nguyên dương tho mãn
1 7 1
+ 3= .
2
Cn Cn n
ðÁP ÁN ð 3
A. PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH (7,0 ñi m)
Câu I. (2,0 ñi m) Cho hàm s y = x 3 − 3(m + 1) x 2 + 9 x − m , v i m là tham s th c.
1. Kh o sát s bi n thiên và v ñ th c a hàm s ñã cho ng v i m = 1 .
Víi m = 1 ta cã y = x 3 − 6 x 2 + 9 x − 1 .
* TËp x¸c ®Þnh: D = R
* Sù biÕn thiªn
• ChiÒu biÕn thiªn: y ' = 3 x 2 − 12 x + 9 = 3( x 2 − 4 x + 3)
x > 3
Ta cã y ' > 0 ⇔ , y' < 0 ⇔ 1 < x < 3 .
x < 1
Do ®ã:
+ H m sè ®ång biÕn trªn mçi kho¶ng (−∞,1) v (3, + ∞) .
+ Hàm sè nghÞch biÕn trªn kho¶ng (1, 3).
• Cùc trÞ: H m sè ®¹t cùc ®¹i t¹i x = 1 v yCD = y (1) = 3 ; ®¹t cùc tiÓu t¹i x = 3 v
yCT = y (3) = −1 .
8
- danghainamn@yahoo.com.vn
• Giíi h¹n: lim y = −∞; lim y = +∞ .
x → −∞ x → +∞
• B¶ng biÕn thiªn:
• §å thÞ:
§å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm (0, − 1) .
2.Xác ñ nh m ñ hàm s ñã cho ñ t c c tr t i x1 , x 2 sao cho x1 − x 2 ≤ 2 .
Ta cã y ' = 3 x 2 − 6(m + 1) x + 9.
+) H m sè ®¹t cùc ®¹i, cùc tiÓu t¹i x1 , x 2
⇔ ph−¬ng tr×nh y ' = 0 cã hai nghiÖm pb l x1 , x 2
⇔ Pt x − 2(m + 1) x + 3 = 0 cã hai nghiÖm ph©n biÖt l
2
x1 , x 2 .
m > −1 + 3
⇔ ∆' = (m + 1) 2 − 3 > 0 ⇔ (1)
m < −1 − 3
+) Theo ®Þnh lý Viet ta cã x1 + x 2 = 2(m + 1); x1 x 2 = 3. Khi ®ã
x1 − x 2 ≤ 2 ⇔ ( x1 + x 2 ) − 4 x1 x 2 ≤ 4 ⇔ 4(m + 1) − 12 ≤ 4
2 2
⇔ (m + 1) 2 ≤ 4 ⇔ −3 ≤ m ≤ 1 ( 2)
Tõ (1) v (2) suy ra gi¸ trÞ cña m l − 3 ≤ m < −1 − 3 v − 1 + 3 < m ≤ 1.
Câu II. (2,0 ñi m)
π
1 sin 2 x
cot x + = 2 sin( x + ) .
1. Gi i phương trình:
sin x + cos x 2
2
§iÒu kiÖn: sin x ≠ 0, sin x + cos x ≠ 0.
cos x 2 sin x cos x
+ − 2 cos x = 0
Pt ® cho trë th nh
2 sin x sin x + cos x
2 cos 2 x
cos x
⇔ − =0
2 sin x sin x + cos x
π
⇔ cos x sin( x + ) − sin 2 x = 0
4
π
+ kπ , k ∈ Ζ .
+) cos x = 0 ⇔ x =
2
π π
x = 4 + m 2π
2 x = x + 4 + m 2π
π
+) sin 2 x = sin( x + ) ⇔ ⇔ m, n ∈ Ζ
x = π + n 2π
2 x = π − x − π + n 2π
4
4 3
4
π t 2π
⇔x= + , t ∈ Ζ.
4 3
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn ta cã nghiÖm cña pt l
π π t 2π
x = + kπ ; x = + , k , t ∈ Ζ.
2 4 3
2.Gi i phương trình: 2 log 5 (3 x − 1) + 1 = log 3 5 (2 x + 1) .
1
§iÒu kiÖn x > . (*)
3
9
- danghainamn@yahoo.com.vn
Víi ®k trªn, pt ® cho ⇔ log5 (3x − 1) 2 + 1 = 3 log5 (2 x + 1)
⇔ log 5 5(3 x − 1) 2 = log 5 (2 x + 1) 3
⇔ 5(3 x − 1) 2 = (2 x + 1) 3
⇔ 8 x 3 − 33 x 2 + 36 x − 4 = 0
⇔ ( x − 2) 2 (8 x − 1) = 0
x = 2
⇔
x = 1
8
§èi chiÕu ®iÒu kiÖn (*), ta cã nghiÖm cña pt l x = 2.
x2 +1
5
Câu III. (1,0 ñi m) Tính tích phân I = ∫ dx .
x 3x + 1
1
3dx 2tdt
§Æt t = 3 x + 1 ⇒ dt = ⇒ dx = .
2 3x + 1 3
Khi x = 1 th× t = 2, v khi x = 5 th× t = 4.
2
t 2 −1
+1
4 4 4
3 2 dt
2tdt
Suy ra I = ∫ ∫ (t − 1)dt + 2∫ t 2 − 1
= 2
.
t −1
2
3 92 2
2
.t
3
4 4
t −1
21 3 100 9
= t − t + ln = + ln .
t +1
93 27 5
2 2
Câu IV. (1,0 ñi m) Cho hình lăng tr tam giác ñ u ABC . A' B ' C ' có AB = 1, CC ' = m (m > 0).
Tìm m bi t r ng góc gi a hai ñư ng th ng AB ' và BC ' b ng 60 0 .
( D ∈ A' B ' )
- KÎ BD // AB '
⇒ ( AB' , BC ' ) = ( BD, BC ' ) = 60 0
B C
⇒ ∠DBC ' = 60 0 hoÆc ∠DBC ' = 1200.
- NÕu ∠DBC ' = 600
A
V× l¨ng trô ®Òu nªn BB ' ⊥ ( A' B ' C ' ).
¸p dông ®Þnh lý Pitago v ®Þnh lý cosin ta cã A’
m
BD = BC ' = m + 1 v DC ' = 3.
2
KÕt hîp ∠DBC ' = 600 ta suy ra ∆BDC ' ®Òu. 1
B’ C’
Do ®ã m 2 + 1 = 3 ⇔ m = 2. 120 0
1
- NÕu ∠DBC ' = 120 0
3
D
¸p dông ®Þnh lý cosin cho ∆BDC ' suy ra m = 0 (lo¹i).
VËy m = 2 .
* Chó ý: - NÕu HS chØ xÐt tr−êng hîp gãc 600 th× chØ cho 0,5® khi gi¶i ®óng.
- HS cã thÓ gi¶i b»ng ph−¬ng ph¸p vect¬ hoÆc to¹ ®é víi nhËn xÐt:
10
- danghainamn@yahoo.com.vn
AB '.BC '
cos( AB ' , BC ' ) = cos( AB ', BC ') = .
AB '.BC '
Câu V. (1,0 ñi m) Cho các s th c không âm x, y, z tho mãn x 2 + y 2 + z 2 = 3 . Tìm giá tr l n
nh t c a bi u t h c
5
A = xy + yz + zx + .
x+ y+z
t2 −3
§Æt t = x + y + z ⇒ t 2 = 3 + 2( xy + yz + zx) ⇒ xy + yz + zx = .
2
Ta cã 0 ≤ xy + yz + zx ≤ x 2 + y 2 + z 2 = 3 nªn 3 ≤ t 2 ≤ 9 ⇒ 3 ≤ t ≤ 3 v× t > 0.
t2 − 3 5
Khi ®ã A = +.
2 t
t2 5 3
XÐt h m sè f (t ) = + − , 3 ≤ t ≤ 3.
2t2
5 t3 − 5
Ta cã f ' (t ) = t − 2 = 2 > 0 v× t ≥ 3.
t t
14
Suy ra f (t ) ®ång biÕn trªn [ 3 , 3] . Do ®ã f (t ) ≤ f (3) = .
3
DÊu ®¼ng thøc x¶y ra khi t = 3 ⇔ x = y = z = 1.
14
, ®¹t ®−îc khi x = y = z = 1.
VËy GTLN cña A l
3
B. PH N RIÊNG (3,0 ñi m) Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n (ph n a, ho c b).
a. Theo chương trình Chu n:
Câu VIa. (2,0 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, cho tam giác ABC có
A(4; 6) ,phương trình các ñư ng th ng ch a ñư ng cao và trung tuy n k t ñ nh C l n
lư t là 2 x − y + 13 = 0 và 6 x − 13 y + 29 = 0 . Vi t phương trình ñư ng tròn ngo i ti p tam
giác ABC .
- Gäi ®−êng cao v trung tuyÕn kÎ tõ C l CH v CM. Khi ®ã
CH cã ph−¬ng tr×nh 2 x − y + 13 = 0 ,
CM cã ph−¬ng tr×nh 6 x − 13 y + 29 = 0. C(-7; -1)
2 x − y + 13 = 0
⇒ C (−7; − 1).
- Tõ hÖ
6 x − 13 y + 29 = 0
- AB ⊥ CH ⇒ n AB = u CH = (1, 2)
⇒ pt AB : x + 2 y − 16 = 0 .
B(8; 4)
x + 2 y − 16 = 0 M(6; 5)
H
⇒ M (6; 5) A(4; 6)
- Tõ hÖ
6 x − 13 y + 29 = 0
⇒ B (8; 4).
- Gi¶ sö ph−¬ng tr×nh ®−êng trßn ngo¹i tiÕp ∆ABC : x 2 + y 2 + mx + ny + p = 0.
11
- danghainamn@yahoo.com.vn
52 + 4m + 6n + p = 0 m = −4
V× A, B, C thuéc ®−êng trßn nªn 80 + 8m + 4n + p = 0 ⇔ n = 6 .
50 − 7 m − n + p = 0 p = −72
Suy ra pt ®−êng trßn: x 2 + y 2 − 4 x + 6 y − 72 = 0 hay ( x − 2) 2 + ( y + 3) 2 = 85.
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho hình vuông MNPQ có M (5; 3; − 1), P (2; 3; − 4) .
Tìm to ñ ñ nh Q bi t r ng ñ nh N n m trong m t ph ng (γ ) : x + y − z − 6 = 0.
- Gi¶ sö N ( x0 ; y0 ; z0 ) . V× N ∈ (γ ) ⇒ x0 + y0 − z 0 − 6 = 0 (1)
MN = PN
- MNPQ l h×nh vu«ng ⇒ ∆MNP vu«ng c©n t¹i N ⇔
MN .PN = 0
( x0 − 5) 2 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 1) 2 = ( x0 − 2) 2 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 4) 2
⇔
( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) 2 + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0
x0 + z0 − 1 = 0 ( 2)
⇔
( x0 − 5)( x0 − 2) + ( y0 − 3) + ( z0 + 1)( z0 + 4) = 0
2
(3)
y 0 = −2 x0 + 7
. Thay v o (3) ta ®−îc x0 − 5 x0 + 6 = 0
2
- Tõ (1) v (2) suy ra
z 0 = − x0 + 1
x0 = 2, y 0 = 3, z 0 = −1 N (2; 3; − 1)
⇒ hay .
x0 = 3, y 0 = 1, z 0 = −2 N (3; 1; − 2)
7 5
- Gäi I l t©m h×nh vu«ng ⇒ I l trung ®iÓm MP v NQ ⇒ I ( ; 3; − ) .
2 2
NÕu N (2; 3 − 1) th× Q (5; 3; − 4).
NÕu N (3;1; − 2) th× Q (4; 5; − 3).
Câu VIIa. (1,0 ñi m) Cho t p E = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}. T các ch s c a t p E l p ñư c bao
nhiêu s t nhiên ch n g m 4 ch s ñôi m t khác nhau?
Gi¶ sö abcd l sè tho¶ m n ycbt. Suy ra d ∈ {0, 2, 4, 6}.
+) d = 0. Sè c¸ch s¾p xÕp abc l A6 .
3
+) d = 2. Sè c¸ch s¾p xÕp abc l A6 − A5 .
3 2
+) Víi d = 4 hoÆc d = 6 kÕt qu¶ gièng nh− tr−êng hîp d = 2.
( )
Do ®ã ta cã sè c¸c sè lËp ®−îc l A6 + 3 A6 − A5 = 420.
3 3 2
b. Theo chương trình Nâng cao:
Câu VIb. (2,0 ñi m) 1. Trong m t ph ng v i h to ñ Oxy, xét elíp ( E ) ñi qua ñi m
M (−2; − 3) và có phương trình m t ñư ng chu n là x + 8 = 0. Vi t phương trình chính t c
c a ( E ).
x2 y 2
+ =1 ( a > b > 0) .
- Gäi ph−¬ng tr×nh ( E ) :
a2 b2
12
- danghainamn@yahoo.com.vn
4 9
a2 + b2 = 1 (1)
- Gi¶ thiÕt ⇔ 2
a = 8 ( 2)
c
Ta cã (2) ⇔ a 2 = 8c ⇒ b 2 = a 2 − c 2 = 8c − c 2 = c(8 − c).
4 9
+ =1.
Thay v o (1) ta ®−îc
8c c(8 − c)
c = 2
⇔ 2c − 17c + 26 = 0 ⇔ 13
2
c =
2
2
y2
x
* NÕu c = 2 th× a 2 = 16, b 2 = 12 ⇒ ( E ) : + = 1.
16 12
x2 y2
13 39
* NÕu c = th× a = 52, b = ⇒ (E) : + = 1.
2 2
2 4 52 39 / 4
2. Trong không gian v i h to ñ Oxyz, cho các ñi m A(1; 0; 0), B (0;1; 0), C (0; 3; 2) và m t
ph ng (α ) : x + 2 y + 2 = 0. Tìm to ñ c a ñi m M bi t r ng M cách ñ u các ñi m A, B, C và
m t ph ng (α ).
Gi¶ sö M ( x0 ; y0 ; z0 ) . Khi ®ã tõ gi¶ thiÕt suy ra
x0 + 2 y0 + 2
( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 = x0 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2 =
2 2 2 2 2
5
( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = x0 + ( y0 − 1) 2 + z0
2 2 2 2
(1)
2
⇔ x0 + ( y0 − 1) 2 + z0 = x0 + ( y0 − 3) 2 + ( z0 − 2) 2
2 2
( 2)
( x0 − 1) 2 + y0 + z0 = ( x0 + 2 y0 + 2)
2
2 2
(3)
5
y0 = x0
Tõ (1) v (2) suy ra .
z0 = 3 − x0
Thay v o (3) ta ®−îc 5(3 x0 − 8 x0 + 10) = (3 x0 + 2) 2
2
x0 = 1 M (1; 1; 2)
⇒ 23 23 14
⇔
x0 = 23 M ( ; ; − ).
33 3
3
Câu VIIb. (1,0 ñi m) Khai tri n và rút g n bi u th c 1 − x + 2(1 − x) 2 + ... + n(1 − x) n thu ñư c ña
th c P ( x) = a 0 + a1 x + ... + a n x n . Tính h s a8 bi t r ng n là s nguyên dương tho mãn
1 7 1
+ 3= .
2
Cn Cn n
n ≥ 3
1 71
+ 3 = ⇔ 2
Ta cã 7.3! 1
n(n − 1) + n(n − 1)(n − 2) = n
2
Cn Cn n
13
- danghainamn@yahoo.com.vn
n ≥ 3
⇔ 2 ⇔ n = 9.
n − 5n − 36 = 0
Suy ra a8 l hÖ sè cña x8 trong biÓu thøc 8(1 − x)8 + 9(1 − x)9 .
8.C8 + 9.C9 = 89.
8 8
§ã l
ð4
I:PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m)
x+2
Câu I. (2,0 ñi m)Cho h m sè y = (C)
x −1
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè (C).
2. Cho ®iÓm A(0;a) .X¸c ®Þnh a ®Î tõ A kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho hai
tiÕp ®iÓm t−¬ng øng n»m vÒ hai phÝa trôc ox.
Câu II. (2,0ñi m)
x − 4x + y − 6 y + 9 = 0
4 2 2
1. Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh : 2 .
x y + x 2 + 2 y − 22 = 0
π 2π 1
2 2
= ( sin x +1)
2. Gi i PT : cos x + + cos x +
3 3 2
π
sin 6 x + cos 6 x
Câu III. (1,0ñi m) Tính tích phân I= ∫ 4π dx
6x + 1
−
4
Câu IV. (2,0 ñi m)Cho h×nh chãp S.ABCD, cã ®¸y ABCD l h×nh vu«ng t©m O c¹nh b»ng a,
SO ⊥ (ABCD). Gäi M, N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña SA v BC. TÝnh gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN v
a 10
mÆt ph¼ng (ABCD) v thÓ tÝch khèi chãp M.ABCD, biÕt r»ng MN = .
2
a , b, c > 0
C©u V (1 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c sao cho .
abc = 1
1 1 1
+3 +3
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøcA = 3
a (b + c ) b (a + c ) c (b + a )
PhÇn Riªng: (3 ®iÓm)
ThÝ sinh chØ ®−îc chän l m mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B)
A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn.
C©u VI.a (2 ®iÓm) 1)Cho ∆ ABC cã PT hai c¹nh l : 5 x − 2 y + 6 = 0, 4x + 7y - 21 = 0. Trùc t©m
cña tam gi¸c trïng víi gèc to¹ ®é O, lËp ph−¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i.
2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m M(2 ; 1 ; 0) và ñư ng th ng d víi
x −1 y +1 z
= = .Vi t phương trình chính t c c a ñư ng th ng ñi qua ñi m M,
d:
−1
2 1
c t và vuông góc v i ñư ng th ng d v t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
C©u VII.a (1 ®iÓm) Mét líp häc cã 40 häc sinh, cÇn cö ra mét ban c¸n sù gåm mét líp tr−ëng,
mét líp phã v 3 ñy viªn (BiÕt r»ng kh«ng ph©n biÖt c¸c chøc danh l ñy viªn). Hái cã bao
nhiªu c¸ch lËp ra mét ban c¸n sù.
B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao.
C©u VI.b (2 ®iÓm) 1)Trong măt ph ng v i h tr c t a ñ Oxy cho A(4;3), ñư ng th ng (d) :
14
- danghainamn@yahoo.com.vn
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 c t nhau t i M. Tìm B ∈ (d ) và C ∈ (d ') sao cho A là tâm
ñư ng tròn ngo i ti p tam giác MBC.
2) Trong kg Oxyz cho ñư ng th ng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Vi t
PT m t c u(S) có tâm I ∈ ∆ và kho ng cách t I ñ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t mp(P )theo giao
tuy n ñư ng tròn (C)có bán kính r=3
C©u VII.b (1 ®iÓm) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = −2 x + m c¾t ®å thÞ h m sè
x2 + x −1
y= t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB thuéc trôc tung.
x
ðÁP ÁN ð 4
I:PH N CHUNG CHO T T C CÁC THÍ SINH (7,0 ñi m)
x+2
Câu I. (2,0 ñi m)Cho h m sè y = (C)
x −1
1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn v vÏ ®å thÞ h m sè (C).
2. Cho ®iÓm A(0;a) .X¸c ®Þnh a ®Î tõ A kÎ ®−îc hai tiÕp tuyÕn tíi (C) sao cho hai tiÕp ®iÓm
t−¬ng øng n»m vÒ hai phÝa trôc ox.
Ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn qua A(0;a) cã d¹ng y=kx+a (1)
x + 2
x − 1 = kx − a (2 )
cã nghiÖm x ≠ 1
§iÒu kiÖn cã hai tiÕp tuyÕn qua A:
−3
=k (3)
(x − 1) 2
Thay (3) v o (2) v rót gän ta ®−îc: (a − 1)x − 2(a + 2)x + a + 2 = 0
2
( 4)
a ≠ 1
a ≠ 1
§Ó (4) cã 2 nghiÖm x ≠ 1 l : f (1) = −3 ≠ 0 ⇔
a > −2
∆' = 3a + 6 > 0
Ho nh ®é tiÕp ®iÓm x 1 ; x 2 l nghiÖm cña (4)
x +2 x +2
Tung ®é tiÕp ®iÓm l y 1 = 1 , y2 = 2
x1 − 1 x2 − 1
(x 1 + 2)(x 2 + 2)
§Ó hai tiÕp ®iÓm n»m vÒ hai phÝa cña trôc ox l : y 1 .y 2 < 0 ⇔ − VËy − < a ≠ 1 tho¶ m n ®kiÖn
- danghainamn@yahoo.com.vn
( x − 2) + ( y − 3) = 4 ( x − 2) 2 + ( y − 3)2 = 4
2 2 2 2
2 2
( x + 2) y + x 2 − 22 = 0 ( x − 2 + 4)( y − 3 + 3) + x 2 − 2 − 20 = 0
x2 − 2 = u u 2 + v 2 = 4
Dat * Thay v o hÖ ph−¬ng tr×nh ta cã:
y −3 = v u.v + 4(u + v) = 8
u = 2 u = 0
hoÆc
v = 0 v = 2
x = 2 x = −2 x = 2 x = − 2
thÕ v o c¸ch ®Æt ta ®−îc c¸c nghiÖm cña hÖ l : ; ; ; ;
y = 3 y = 3 y = 5 y = 5
π 2π
1
= ( sin x +1)
2. Gi i PT : cos 2 x + + cos 2 x +
3 2
3
2π 4π π
) + 1 + cos(2 x + ) = 1 + sin x ⇔ 2 cos(2 x + π ).cos = sin x − 1
⇔ 1 + 2 cos(2 x +
3 3 3
π 5π
⇔ 1 − cos 2 x − sin x = 0 ⇔ 2 sin 2 x − sin x = 0 ⇔ x = + 2kπ ; x = + 2kπ ; hayx = kπ
6 6
π
sin 6 x + cos 6 x
Câu III. (1,0ñi m) Tính tích phân I= ∫ 4π dx
6x + 1
−
4
π
sin 6 x + cos 6 x
Tính tích phân I= ∫ 4π dx
6x + 1
−
4
* ðăt t = -x => dt = -dx
π π π π
* ð i c n: x = − ⇒t = ;; x = ⇒t =−
4 4 4 4
π π
sin t + cos t sin t + cos t
6 6 6 6
I = ∫ 4π 6t dt ; => 2 I = ∫ 4π (6t + 1) dt
6 +1 6t + 1
t
− −
S
4 4
π
= ∫ 4π (sin 6 t + cos 6 )tdt
−
4
M
π
π π a 10
3 5 3 5 31 4
2 I = ∫ π 1 − sin 2 2t dt = ∫ 4π + cos 4t dt = t +
2
4
sin 4t
D
4 48 8 8 4 − π
− −
4 8
α
O
4
5π 5π H N
A
= ⇒I=
a
16 32
B
Câu IV. (2,0 ñi m)Cho h×nh chãp S.ABCD, cã ®¸y ABCD l h×nh vu«ng t©m O c¹nh b»ng a,
SO ⊥ (ABCD). Gäi M, N lÇn l−ît l trung ®iÓm cña SA v BC. TÝnh gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN v
a 10
mÆt ph¼ng (ABCD) v thÓ tÝch khèi chãp M.ABCD, biÕt r»ng MN = .
2
16
- danghainamn@yahoo.com.vn
SO ⊥ (ABCD). Dùng MH//SO, H thuéc AC, khi ®ã
MH ⊥ (ABCD), suy ra gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN víi
mp(ABCD) chÝnh l gãc MNH = α . Ta cÇn tÝnh α .
ˆ
XÐt tam gi¸c CNH cã :
3 3a 2 a
HC = . AC = , CN = .
4 4 2 C
HN = HC + CN − 2 HC.CN . cos 45 0
2 2 2
9a 2 a 2 3a 2
Hay HN 2 = + −
8 4 4
a 10 HN a 10 2 1
. VËy cos α =
Suy ra HN = = =.
.
4 MN 4 a 10 2
DÉn ®Õn α = 60 0. VËy gãc gi÷a ®−êng th¼ng MN v mÆt ph¼ng (ABCD) b»ng 600.
ThÓ tÝch khèi chãp M.ABCD.
Trong tam gi¸c HMN cã,
MH a 10 3 a 30
tan 60 0 = ⇒ MH = HN . tan 60 0 = = .
.
HN 4 2 8
MH l chiÒu cao cña khèi chãp M.ABCD. VËy thÓ tÝch cña khèi chãp n y l :
1 2 a 30 a 3 30
1
V = S ABCD .MH = a . = .
3 3 8 24
a , b, c > 0
C©u V (1 ®iÓm) Cho ba sè a, b, c sao cho .
abc = 1
1 1 1
+3 +3
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøcA = 3
a (b + c ) b (a + c ) c (b + a )
1 1 1
§Æt x = , y = , z = . Khi ®ã:
a b c
3 3
z3 x 3 yz y 3 xz z 3 xy 3
x y
+ + ≥
A= + + = (*)
1 1 1 1 1 1 y+z z+x x+ y 2
+ + +
yzxzyx
x2 y2 z2
Do abc = 1 ⇒ xyz = 1 nªn ta cã A = + + (1)
y+z z+x x+ y
a+b+c a2 b2 c2
≤ + +
Ta chøng minh bÊt ®¼ng thøc . ThËt vËy.
b+c c+a b+a
2
¸p dông bÊt ®¼ng thøc C«si cho c¸c sè d−¬ng ta cã:
b+c c+a a+b
a2 b2 c2
+ ≥ a, + ≥ b, + ≥ c.
b+c c+a a+b
4 4 4
Céng ba bÊt ®¼ng thøc cïng chiÒu trªn ta cã :
a+b+c a2 b2 c2
≤ + + .
b+c c+a b+a
2
B¹n ®äc tù ®¸nh gi¸ dÊu “=” x¶y ra khi a = b = c.
17
- danghainamn@yahoo.com.vn
x+ y+ z 33
2 2
z2
x y 3
+ + ≥ ≥ xyz =
VËy A=
y+z z+x x+ y 2 2 2
3
DÊu “=” x¶y ra khi x = y = z = 1. VËy minA = khi a = b = c = 1 .
2
PhÇn Riªng: (3 ®iÓm)
ThÝ sinh chØ ®−îc chän l m mét trong hai phÇn (phÇn A hoÆc phÇn B)
A. Theo ch−¬ng tr×nh chuÈn.
C©u VI.a (2 ®iÓm) 1)Cho ∆ ABC cã PT hai c¹nh l : 5 x − 2 y + 6 = 0, 4x + 7y - 21 = 0. Trùc t©m
cña tam gi¸c trïng víi gèc to¹ ®é O, lËp ph−¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i.
Ta gi¶ sö tam gi¸c ABC cã c¹nh AB : 5 x − 2 y + 6 = 0
AC: 4x + 7y - 21 = 0 , suy ra täa ®é cña A l nghiÖm cña hÖ ph−¬ng A
tr×nh:
5 x − 2 y = −6 B’
A
, gi¶i hÖ suy ra A(0; 3)
4 x + 7 y = 21
O(0; 0)
NhËn thÊy A thuéc Oy, OA l ®−êng
cao cña tam gi¸c, OA ⊥ BC ⇒ BC // Ox
A’
suy ra ph−¬ng tr×nh cña BC cã d¹ng y = y0.
§−êng cao BB’ ®i qua trùc t©m O v vu«ng gãc víi AC suy ra BB’ B
C
cã ph−¬ng tr×nh l : 7(x – 0) - 4(y – 0) = 0 hay BB’: 7x – 4y = 0.
§iÓm B = BB '∩ AC ⇒ täa ®é cña B l nghiÖm cña hÖ ph−¬ng tr×nh:
7x − 4 y = 0 x = −4
⇔
5 x − 2 y = −6 y = −7
§−êng th¼ng ®i qua B(- 4; - 7) v song song víi Ox chÝnh l ®−êng th¼ng BC suy ra ph−¬ng tr×nh
c¹nh BC: y = - 7.
VËy ph−¬ng tr×nh c¹nh cßn l¹i cña tam gi¸c ABC l y = -7.
2.Trong không gian v i h t a ñ Oxyz, cho ñi m M(2 ; 1 ; 0) và ñư ng th ng d víi
x −1 y +1 z
= = .Vi t phương trình chính t c c a ñư ng th ng ñi qua ñi m M,
d:
−1
2 1
c t và vuông góc v i ñư ng th ng d v t×m to¹ ®é cña ®iÓm M’ ®èi xøng víi M qua d
G i H là hình chi u vuông góc c a M trên d, ta có MH là ñư ng th ng ñi qua M, c t và vuông
góc v i d.
x = 1 + 2t
d có phương trình tham s là: y = −1 + t
z = − t
uuuu
r
Vì H ∈ d nên t a ñ H (1 + 2t ; − 1 + t ; − t).Suy ra : MH = (2t − 1 ; − 2 + t ; − t)
r
Vì MH ⊥ d và d có m t vectơ ch phương là u = (2 ; 1 ; −1), nên :
uuuu
r
2
2.(2t – 1) + 1.(− 2 + t) + (− 1).(−t) = 0 ⇔ t = . Vì th , MH = 1 ; − 4 ; − 2
3 3 3
3
uuuu
r uuuu
r
uMH = 3MH = (1; −4; −2)
x − 2 y −1 z
= =
Suy ra, phương trình chính t c c a ñư ng th ng MH là:
−4 −2
1
712 8 5 4
Theo trªn cã H ( ; − ; − ) m H l trung ®iÓm cña MM’ nªn to¹ ®é M’ ( ; − ; − )
333 3 3 3
C©u VII.a (1 ®iÓm) Mét líp häc cã 40 häc sinh, cÇn cö ra mét ban c¸n sù gåm mét líp
tr−ëng, mét líp phã v 3 ñy viªn (BiÕt r»ng kh«ng ph©n biÖt c¸c chøc danh l ñy viªn). Hái
18
- danghainamn@yahoo.com.vn
cã bao nhiªu c¸ch lËp ra mét ban c¸n sù.
• §Çu tiªn ta chän ra 2 häc sinh ®Ó l m líp tr−ëng v líp phã, (chó ý r»ng hai chøc danh ®ã l
kh¸c nhau)
Mét c¸ch xÕp 2 häc sinh l m líp tr−ëng v líp phã l mét chØnh hîp chËp 2 cña 40
2
Sè c¸ch xÕp 2 häc sinh l m líp tr−ëng v líp phã l A40
Cßn l¹i 38 häc sinh.
• TiÕp ®ã ta chän 3 häc sinh l m ñy viªn (kh«ng ph©n biÖt thø tù)
3
Sè c¸ch chän 3 häc sinh l m ñy viªn l C 38
• Theo qui t¾c nh©n ta cã sè c¸ch chän ra mét ban c¸n sù l :
A40 .C 38 = 13160160 c¸ch
2 3
B. Theo ch−¬ng tr×nh n©ng cao.
C©u VI.b (2 ®iÓm) 1)Trong măt ph ng v i h tr c t a ñ Oxy cho A(4;3), ñư ng th ng (d) :
x – y – 2 = 0 và (d’): x + y – 4 = 0 c t nhau t i M. Tìm B ∈ (d ) và C ∈ (d ') sao cho A là tâm
ñư ng tròn ngo i ti p tam giác MBC.
2) Trong kg Oxyz cho ñư ng th ng ( ∆ ): x= -t ; y=2t -1 ; z=t +2 và mp(P):2x – y -2z - 2=0 Vi t
PT m t c u(S) có tâm I ∈ ∆ và kho ng cách t I ñ n mp(P) là 2 và m t c u(S) c t
mp(P )theo giao tuy n ñư ng tròn (C)có bán kính r=3
m c u(S) có tâm I ∈ ∆ g s I(a;b;c ) =>(a;b;c) tho m n PT c a ∆ (1)
* d ( I ;( P)) = 2 (2)
T (1) và(2) ta có h
2 a − b − 2c − 2 = 6
11 14 1 1 1 7
a=t ⇒ .... ⇒ heconghiem ; − ; ; va − ; − ;
PT:
b = 2t − 1 6 3 6 3 3 3
c =t+2
Do r = R 2 − 4 = 3 ⇔ R = 13
V y có 2 m t c u theo ycbt :
2 2 2
11 14 1
( S1 ) : x − + y + + z − = 13
6 3 6
2 2 2
( S2 ) : x + + y + + z − = 13
1 1 7
3 3 3
C©u VII.b (1 ®iÓm) T×m c¸c gi¸ trÞ cña tham sè m ®Ó ®−êng th¼ng y = −2 x + m c¾t ®å thÞ h m sè
x2 + x −1
y= t¹i hai ®iÓm ph©n biÖt A, B sao cho trung ®iÓm cña ®o¹n th¼ng AB thuéc trôc tung.
x
Ph−¬ng tr×nh ho nh ®é giao ®iÓm:
x2 + x +1
= −2 x + m ⇔ 3 x 2 + (1 − m) x − 1 = 0 ( x ≠ 0) (1)
x
NhËn thÊy x = 0, kh«ng l nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh (1) v cã biÖt sè:
∆ = (1 − m )2 + 12 > 0, ∀m , suy ra ph−¬ng tr×nh (1) lu«n cã hai ph©n biÖt x1 , x 2 kh¸c 0 víi mäi
m, tøc th¼ng lu«n c¾t ®−êng cong t¹i hai ®iÓm A, B ph©n biÖt víi mäi m.
b m −1
Theo ®Þnh lÝ ViÐt ta cã x1 + x2 = − =
a 3
19
- danghainamn@yahoo.com.vn
x + x2 m − 1
Ho nh ®é trung ®iÓm I cña ®o¹n th¼ng AB l x I = 1 = .
2 6
§iÓm I ∈ Oy ⇔ x I = 0 ⇔ m − 1 = 0 ⇔ m = 1.
VËy m = 1 l gi¸ trÞ cÇn t×m.
ð5
I: PH N CHUNG CHO T T C THÍ SINH
CâuI (2ñi m): Cho hàm s y = x3 - 3x2 + 4 (C)
1: Kh o sát hàm s .
2: G i (d) là ñư ng th ng ñi qua ñi m A(2 ; 0) có h s góc k.Tìm k ñ (d) c t
(C) t i ba ñi m phân bi t A ; M ; N sao cho hai ti p tuy n c a (C ) t i M và N
vuông góc v i nhau.
Câu II (2 ñi m):
1
x x
3(sin 3 − cos 3 ) = 2 cos x + sin 2 x
1: Gi i phương trình:
2 2 2
x 2 + 35 < 5 x − 4 + x 2 + 24
2: Gi i b t phương trình:
ln( x − 1 + 1)
5
∫ x −1+
Câu III (1ñi m): Tính tích phân : I = dx
x −1
2
Câu IV (1ñi m): Cho tam gi¸c ABC c©n néi tiÕp ®−êng trßn t©m J b¸n kÝnh R=2a (a>0) ,gãc
BAC =1200.Trªn ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mÆt ph¼ng (ABC) lÊy ®iÓm S sao cho SA = a 3. Gäi
I l trung ®iÓm ®o¹n BC .TÝnh gãc gi÷a SI v h×nh chiÕu cña nã trªn mÆt ph¼ng (ABC) & tính bán
kính m t c u ngo i ti p hình chóp SABC theo a
Câu V (1ñi m):
2y
2x 2z 1 1 1
+ 3 2+ 3 ≤ 2+ 2+ 2
1). Cho x,y,z là các s th c dương. Ch ng minh:
x +y y +z z +x
3 2 2
x y z
x3 − y 3 + 3 y 2 − 3x − 2 = 0
2).Tìm m ñ h phương trình: có nghi m th c
x2 + 1 − x2 − 3 2 y − y 2 + m = 0
PH N RIÊNG: Thí sinh ch ñư c làm m t trong hai ph n A ho c B
A.Theo chương trình chu n (2ñi m)
Câu VIa: 1) Trong m t ph ng Oxy cho ñư ng tròn (C) tâm I(-1; 1), bán kính R=1, M là m t
ñi m trên (d ) : x − y + 2 = 0 . Hai ti p tuy n qua M t o v i (d) m t góc 450 ti p xúc v i (C) t i A,
B. Vi t phương trình ñư ng th ng AB.
2) Cho hình l p phương ABCDA1B1C1D1 có ñi m A(0;0;0); B(2;0;0); D(0;2;0); A1(0;0;2). M là
trung ñi m AB; N là tâm c a hình vuông ADD1A1. Tính bán kính c a ñư ng tròn là giao tuy n
c a m t c u ñi qua C ; D1 ; M ; N v i m t ph ng MNC1
Câu VII/a: Cho n là s t nhiên n ≥ 2.Tính
n
S = ∑ k 2Cnk 2k = 12.Cn .2 + 22.Cn .22 + ... + n 2 .Cnn .2n
1 2
k =1
B. Theo chương trình nâng cao (2ñi m)
20
nguon tai.lieu . vn
