Xem mẫu
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
BÀI 1
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) :
x y 2 0
sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) :
2x z 6 0
x2 y2 z2 2x 2y 2z 1 0 laø ñöôøng troøn coù baùn kính r = 1.
Caâu 2:
Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn
löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, C'B'. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A'B
vaø B'C'.
GIẢI
Caâu 1:
Maët phaúng (P) chöùa (d) coù daïng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0
(P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0
Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2.
(P) caét (S) theo moät ñöôøng troøn giao tieáp (C) coù baùn kính r = 1
d(I; P) R2 r 2 3
m 2n m n 2m 6n
3 4m 7n 3. 2m2 5n2 4m.n
(m 2n)2 m 2 n2
5m2 22m.n 17n2 0
17
Cho n 1 5m 2 22m 17 0 m 1 hay m
5
(P1 ) : x y z 4 0
Vaäy, coù 2 maët phaúng (P):
(P2 ) : 7x 17y 5z 4 0
Caâu 2: A/ C/
. Caùch 1: B/ F
Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng
H
AB BC CA A/ B/ B/ C/ C/ A/ a
caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu.
Ta coù: B/ C/ // BC B/ C/ //(A/ BC) A C
/ / / / / / /
d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC)) D
B
BC FD
Ta coù: / / /
BC (A / BC)
BC A D (A BC caân taïi A )
Döïng FH A/ D
Vì BC (A/ BC) BC FH H (A/ BC)
1 1 1 4 1 7 a 21
A/FD vuoâng coù: 2
/ 2 2
2 2 2 FH .
FH AF FD 3a a 3a 7
Trang 1
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
a 21
Vaäy, d(A / B; B/ C/ ) FH
7
Caùch 2:
Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng
z C/
ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a. /
A
Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az a
B/
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),
a a 3 a a 3 /
B ; ; 0 , C ; ; 0 , A (0; 0; a),
2 2 2 2
C
a a 3 / a a 3 A
B/ ; ; a, C ; ; a D y
2 2 2 2 x
/ / / / / B
Ta coù: B C // BC, B C // (A BC)
d(B/ C/ ; A/ B) d(B/ C/ ; (A/ BC)) d(B/ ; (A/ BC))
a a 3
a a 3
/ /
A B ; ; a, A C ; ; a
2 2 2 2
a2 3 2 3 2 3
[A / B; A / C] 0; a2 ; a 0; 1; a .n, vôùi n 0; 1;
2 2 2
Phöông trình mp (A/BC) qua A/ vôùi phaùp vectô n :
3
0(x 0) 1(y 0) (z a) 0
2
3 a 3
(A / BC) : y z 0
2 2
a 3 3 a 3 a 3
.a
d(B/ (A / BC)) 2 2 2 2 a 21 .
3 7 7
1
4 2
a 21
Vaäy, d(A / B; B/ C/ ) .
7
BÀI 2
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng
x 1 y 2 z 3
() :
2 1 2
1. Tìm ñieåm M thuoäc () ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3.
2. Tìm ñieåm N thuoäc () ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát.
Trang 2
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Caâu 2: (1,0 ñieåm)
Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng
caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. Tính h theo a ñeå hai maët phaúng (SAB) vaø
(SAC) vuoâng goùc nhau.
GIẢI
Caâu 1:
x 1 2t
1. Phöông trình tham soá cuûa (D): y 2 t
z 3 2t
M () M(1 2t; 2 t; 3 2t)
AB (2; 1; 2), AC (2; 2;1)
[AB; AC] (3; 6; 6) 3(1; 2; 2) 3.n , vôùi n (1; 2; 2)
Phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0.
1
1 9
SABC [AB; AC] (3)2 (6)2 62 .
2 2 2
Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC):
1 2t 2(2 t) 2(3 2t) 2 4t 11
MH d(M(ABC))
1 4 4 3
1 9 4t 11
Theå tích töù dieän MABC baèng 3 V . . 3
3 2 3
5 17
4t 11 6 t hay t .
4 4
3 3 1 15 9 11
Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø: M ; ; hay M ; ;
2 4 2 2 4 2
2. N () N(1 2t; 2 t; 3 2t)
1 1 2 3 2
SABN [NA; NB] 32t 2 128t 146 (4t 8)2 9
2 2 2 2
3 2
max SABN 4t 8 0 t 2.
2
Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1).
Caâu 2: S
Caùch 1:
Goïi O laø taâm cuûa ABC
I
SA SB SC
Ta coù:
OA OB OC (ABC ñeàu)
SO laø truïc cuûa ñöôøng troøn (ABC) A C
SO (ABC) O M
Maø : AO BC; SO BC BC (SOA) BC SA
B
Trang 3
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Döïng BI SA , suy ra: SA (IBC) SA IC.
BIC laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C).
a2 3h2 a2 3h2 a2
SOA vuoâng coù: SA2 SO2 OA 2 h2 SA
3 3 3
Goïi M laø trung ñieåm BC
Ta coù: BM (SOA), BI SA
IM SA (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)
MIA SOA
AM a 3 3 3ah
MI SO. h. .
SA 2 3h2 a2 2 3h2 a2
SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC caân taïi I.
1
(SAB) (SAC) IBC vuoâng caân taïi I IM BC
2
3ah 1
a 3h 3h 2 a2
2 3h 2 a2 2
a 6
9h2 3h 2 a2 h .
6
a 6
Vaäy, h . z
6
Caùch 2: S
Goïi H laø taâm cuûa ABC
vaø M laø trung ñieåm cuûa BC
SA SB SC
Ta coù: C
HA HB HC (ABC ñeàu) A
H
Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az M y
z
ñoâi moät vuoâng goùc A(0; 0; 0), B
a a 3 a a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 , C ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ; h.
2 2 2 2 2 3
a 3 a a 3
a a 3
SA 0; ; h , SB ; ; h , SC ; ; h
3 2 6 2 6
ah 3 ah a2 3
a a
[SA; SB] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n1 ,
2 2 6 6 6
vôùi n1 (3h 3; 3h; a 3)
ah 3 ah a2 3 a a
[SA; SC] ; ; (3h 3; 3h; a 3) .n 2 ,
2 2 6 6 6
vôùi n2 (3h 3; 3h; a 3) .
Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA; SB neân coù phaùp vectô n1 .
Trang 4
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA; SC neân coù phaùp vectô n 2 .
(SAB) (SAC) cos(n1; n2 ) 0
3h 3.3h 3 3h.3h a 3(a 3) 0 27h 2 9h 2 3a2 0
a 6
2 2
18h 3a h .
6
a 6
Vaäy: h .
6
BÀI 3
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) vaø maët caàu (S):
2x 2y z 1 0
(d) : ; (S) :x2 y2 z 2 4x 6y m 0
x 2y 2z 4 0
Tìm m ñeå (d) caét (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho MN = 8.
Caâu 2:
Cho töù dieän OABC coù ñaùy laø OBC vuoâng taïi O, OB = a, OC = a 3, (a 0) vaø
ñöôøng cao OA a 3 . Goïi M laø trung ñieåm caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai
ñöôøng thaúng AB vaø OM.
GIẢI
Caâu 1: M H N
Maët caàu (S): (x 2)2 (y 3)2 z2 13 m coù taâm
I(-2; 3; 0), baùn kính R IN 13 m , vôùi m < 13. I
Döïng IH MN MH HN 4
IH IN2 HN2 13 m 16 m 3 , vôùi m < -3.
x t
1
Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d): y 1 t
2
z 1 t
1 1
(d) coù vectô chæ phöông u 1; ; 1 (2; 1; 2) vaø ñi qua ñieåm A(0; 1; -1)
2 2
Trang 5
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
AI (2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; 6)
Khoaûng caùch h töø I ñeán ñöôøng thaúng (d):
[AI; u] 32 62 62 81
h 3.
u 22 12 22 9
Ta coù: IH = h
m 3 3 m 3 9 m 12 (thoûa ñieàu kieän)
Vaäy, giaù trò caàn tìm: m = -12.
Caâu 2:
Caùch 1:
Goïi N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O.
Ta coù: OM // BN (tính chaát ñöôøng trung bình)
OM // (ABN)
d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)).
Döïng OK BN, OH AK (K BN; H AK)
Ta coù: AO (OBC); OK BN AK BN
BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH
OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH
Töø caùc tam giaùc vuoâng OAK; ONB coù:
1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 a 15
2
2
2
2
2
2
2 2 2 2 OH
OH OA OK OA OB ON 3a a 3a 3a 5
a 15 z
Vaäy, d(OM; AB) OH . a 3 A
5
Caùch 2:
N
Döïng heä truïc Oxyz, vôùi Ox, Oy, Oz
ñoâi moät vuoâng goùc O(0; 0; 0), C
O
A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), a 3 y
a a 3 a 3 a 3 B M
M ; ; 0 vaø N 0; ; a
2 2 2 2
x
laø trung ñieåm cuûa AC.
MN laø ñöôøng trung bình cuûa ABC
AB // MN
AB // (OMN) d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).
a a 3 a 3 a 3
OM ; ; 0 , ON 0; ;
2 2 2 2
3a2 a2 3 a2 3 a2 3
a2 3
[OM; ON] ; ;
3; 1; 1
n , vôùi n ( 3; 1; 1)
4 4 4 4 4
Trang 6
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Phöông trình mp (OMN) qua O vôùi phaùp vectô n : 3x y z 0
3.a 0 0 a 3 a 15
Ta coù: d(B; (OMN))
3 11 5 5
a 15
Vaäy, d(AB; OM) .
5
BÀI 4
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng () : 2x – y + z – 5 = 0. Vieát phöông trình maët
phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa () vaø maët phaúng (xOy) vaø (P) taïo vôùi 3 maët phaúng
125
toïa ñoä moät töù dieän coù theå tích baèng .
36
Caâu 2:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a
(a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC. Ñaët SG = x
(x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C) baèng 60 o.
GIẢI
Caâu 1:
Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0
Phöông trình maët phaúng (P) thuoäc chuøm xaùc ñònh bôûi () vaø (xOy) coù daïng:
m(2x – y + z – 5) – nz = 0 (P) : 2mx my (m n)z 5m 0
Giao ñieåm A, B, C cuûa (P) vaø 3 truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït coù toïa ñoä:
5 5m
A ; 0; 0 , B(0; 5; 0), C 0; 0;
2 mn
Theå tích töù dieän OABC baèng
125 1 1 5 5m 125
V .OA.OB.OC . .5.
36 6 6 2 mn 36
m n 3m m 1, n 2
mn 3m
m n 3m m 1, n 4
Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P):
(P1 ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 2)
(P ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n 4)
2
Caâu 2: S
. Caùch 1:
Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC
I
AM BC (ABC vuoâng caân) C
Ta coù: SG (ABC) SG BC .
A G M
Trang 7
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Suy ra: BC (SAM)
Döïng BI SA IM SA vaø IC SA
BIC laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C).
SAB SAC (c.c.c)
IB IC IBC caân taïi I.
1 a 2 a 2
BC a 2; AM BM MC BC ; AG
2 2 3
AM a 2 1 ax 2
AIM ~ AGS IM SG. x. .
AS 2 2
SG AG 2
2 2a2
2 x
9
3ax 2
IM .
2 9x2 2a2
a 2 3.3ax 2
Ta coù: BIC 60o BIM 30o BM IM.tg30o
2 2 9x2 2a2
9x2 2a2 3x 3 9x 2 2a2 27x 2
a
18x2 2a2 9x2 a2 x .
3
a
Vaäy, x .
3 z
Caùch 2: x
BC a 2
Goïi M laø trung ñieåm BC
a 2 a 2
AM ; AG
2 3
A F C
Goïi E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa G y
G
treân AB, AC. Töù giaùc AEGF laø hình vuoâng
E M
a
AG AE 2 AE AF . B
3
Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az x
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
a a a a
C(0; a; 0), G ; ; 0 , S ; ; x .
3 3 2 2
a a 2a a
a 2a
SA ; ; x , SB ; ; x , SC ; ; x
3 3 3 3 3 3
a2 a a
[SA; SB] 0; ax; a 0; x; a.n1 , vôùi n1 0; x;
3 3 3
a2 a a
[SA; SC] (ax; 0; ) a x; 0; a.n 2 , vôùi n2 x; 0; .
3 3 3
Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA, SB neân coù phaùp vectô n1
Trang 8
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA, SC neân coù phaùp vectô n 2
Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o.
a a a2
0.x x.0
3 3 9
cos60o
2 a 2
2 a 2 9x a2
2
0x x 0
9 9 9
1 a2 a
2 9x2 a2 2a2 9x2 a2 x .
2 9x a2 3
a
Vaäy, x .
3
BÀI 5
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz, tìm treân Ox ñieåm A caùch ñeàu ñöôøng thaúng
x 1 y z 2
(d) : vaø maët phaúng () : 2x – y – 2z = 0.
1 2 2
Caâu 2:
Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng 2a 2 , SA vuoâng
goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, BC. Tính
goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF.
GIẢI
Caâu 1:
Goïi A(a; 0; 0) Ox .
2a 2a
Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng () : d(A; )
22 12 22 3
() qua M0 (1; 0; 2) vaø coù vectô chæ phöông u (1; 2; 2)
Ñaët M0 M1 u
Do ñoù: d(A; ) laø ñöôøng cao veõ töø A trong tam giaùc AM0 M1
2.SAM0M1 [AM0 ; u] 8a2 24a 36
d(A; )
M0 M1 u 3
Theo giaû thieát: d(A; ) = d(A; )
Trang 9
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
2a 8a2 24a 36
4a2 8a2 24a 36 4a2 24a 36 0
3 3
2
4(a 3) 0 a 3.
Vaäy, coù moät ñieåm A(3; 0; 0).
Caâu 2:
S
Caùch 1:
Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF EM // AF
(SA; AF) (EM; AF) SEM
SAE vuoâng taïi A coù:
SE2 SA2 AE a2 2a2 3a2 SE a 3 H A C
2a 2. 3
AF a 6 K F
2 E
M
a 6 B
EM BM MF ; BF a 2
2
SB2 SA2 AB2 a2 8a2 9a2 SB 3a
SF2 SA2 AF2 a2 6a2 7a2 SF a 7
AÙp duïng ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán SM trong SBF coù:
1
SB2 SF 2 2.SM2 BF 2
2
2 2 2 1 2 2 15a2
9a 7a 2SM .2a SM
2 2
Goïi laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF
AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo SEM coù:
3a2 15a2
3a2
ES2 EM2 SM2 2 2 2 2.
cos cosSEM
2.ES.EM a 6 2 2
2. .a 3
2
o
45 .
a 2
Döïng AK ME; AH SK. Ta coù: AK MF vaø AH (SME)
2
Vì AF // ME d(SE; AF) d(AF; (SME)) AH.
1 1 1 1 2 3 a 3
SAK vuoâng coù: 2
2
2
2 2 2 AH
AH SA AK a a a 3
a 3
Vaäy, d(SE; AF) .
3
z
Caùch 2:
a S
Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az
ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),
C
A
Trang 10 x F
E y
M
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
B(a 2; a 6; 0), C(a 2; a 6; 0), S(0; 0; a),
a 2 a 6
E ; ; 0 ; F(0; a 6; 0)
2 2
a 2
vaø M ; a 6; 0 .
2
a 2 a 6 a 2
SE ; ; a ; AF (a; a 6; 0), SM ; a 6; a
2 2 2
Goïi laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF.ta coù:
a 2 a 6
0. a 6. 0(a)
2 2 3a2 2
cos cos(SE; AF) .
2
2
a 3a 2
2
a 6.a 3 2
0 6a 0. a
2 2
45o.
a2 6 a2 3 a 2 3 a2 3
[SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n, vôùi n ( 2; 0; 1)
2 2 2 2
Phöông trình maët phaúng (SEM) qua S vôùi phaùp vectô n : 2x z a 0.
00a a 2
Khoaûng caùch töø A ñeán (SEM): d(A;SEM)
2 1 3
Vì AF // EM AF //(SEM) d(SE; AF) d(A; SEM)
a 3
Vaäy, d(SE; AF) .
3
ĐỀ 6
Caâu 1:
Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) vaø maët caàu (S):
(P): 2x 2y z m2 3m 0 ; (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 9 .
Tìm m ñeå (P) tieáp xuùc (S). Vôùi m tìm ñöôïc xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm.
Caâu :
Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA
vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm SC. Chöùng minh MAB caân vaø
tính dieän tích MAB theo a.
LỜI GIẢI
Caâu 1:
Trang 11
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
(P) : 2x 2y z m2 3m 0
(S) : (x 1)2 (y 1)2 (x 1)2 9 coù taâm I(1; -1; 1) vaø baùn kính R = 3.
(P) tieáp xuùc (S) d[I, (P)] R
2.1 2.(1) 1.1 m 2 3m 2
m 2 3m 1 9 m 2
3 m 3m 1 9 2
22 22 12 m 3m 1 9
m 5
Vaäy, (P) tieáp xuùc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñoù (P): 2x + 2y + z – 10 = 0
Ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi (P) coù phöông trình:
x 1 y 1 z 1
2 2 1
2x 2y z 10 0 x 3
Toïa ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä: x 1 y 1 z 1 y 1
2 2 1
z 2
Vaäy, toïa ñoä tieáp ñieåm M(3; 1; 2). S
Caâu 2:
Caùch 1:
M
Ta coù: SA (ABC) SA AC.
Do ñoù SAC vuoâng taïi A coù AM laø
1
trung tuyeán neân MA SC. A C
2 H
K
SA (ABC)
Ta laïi coù: B
AB BC (ABC vuoâng taïi B)
SB BC (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc)
1
Do ñoù SBC vuoâng taïi B coù BM laø trung tuyeán neân MB SC.
2
Suy ra: MA = MB MAB caân taïi M.
Döïng MH // SA vaø HK // BC (H AC; K AB)
1
SA (ABC) MH (ABC) MH 2 SA a
vì:
BC AB HK AB HK 1 BC a
2
MHK vuoâng taïi H coù: MK2 MH2 HK2 a2 a2 2a2 MK a 2
1 1 a2 2
Dieän tích MAB: SMAB .MK.AB .a 2.a
2 2 2
Caùch 2:
Trang 12
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
ABC vuoâng taïi B coù: z
AC2 AB2 BC2 a2 4a2 5a2 2a
S
AC a 5
Döïng BH AC (H AC), ta coù: M
AB2 a2 a
AH
AC a 5 5 H C y
A
1 1 1 5 a 5
2
2
2
2 K
BH AB BC 4a
x a B
2a
BH 5
5
Döïng heä truïc toïa vuoâng goùc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoân g goùc vaø
2a a
A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0
5 5
a 5
Toïa ñoä trung ñieåm M cuûa SC laø M 0; ; a
2
a 5
3a
Ta coù: MA 0; ; a MA
2 2
2a 3a 3a
MB ; ; a MB .
5 2 5 2
suy ra: MA = MB MAB caân taïi M.
a2
2a2 2
Ta coù: [MA; MB] ; ; a [MA; MB] a2 2
5 5
1
1 a2 2
Dieän tích MAB: SMAB [MA; MB] .a2 2 .
2 2 2
BÀI 7
Caâu 1:
Cho hình choùp ñeàu S.ABC, ñaùy ABC coù caïnh baèng a, maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc
baèng (0o 90o ) . Tính theå tích khoái hình choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh
A ñeán maët phaúng (SBC).
Caâu 2:
. Trong khoâng gian oxyz cho hai ñöôøng thaúng:
x 2 t
x y 3 0
(d1) : y t ; (d2) :
z 4 4x 4y 3z 12 0
Chöùng minh (d1) vaø (d2) cheùo nhau. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù ñöôøng kính
laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2).
Trang 13
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
GIẢI
Caâu 1: S
Caùch 1:
Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC.
Do S.ABC ñeàu vaø ABC ñeàu neân
chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi
giao ñieåm ba ñöôøng cao laø tröïc taâm O A C
cuûa ABC vaø coù SBC caân taïi S. O
H
suy ra: BC SH, BC AH, neân SHA . B
1 a 3
Ta coù: OH AH .
3 6
a 3 HO a 3
SHO vuoâng goùc: SO HO.tg tg vaø SH
6 cos 6.cos
1 1 a 3 a2 3 a3tg
Theå tích hình choùp S.ABC: V .SO.SABC . tg.
3 3 6 4 24
1 a2 3
Dieän tích SBC: SSBC .SH.BC
2 12.cos
Goïi h laø khoaûng caùch töø A ñeán (SBC), ta coù:
1 3.V a3tg a2 3 a 3
V .h.SSBC h 3. : sin
3 SSBC 24 12 cos 2
Caùch 2:
Vì S.ABC laø hình choùp ñeàu z
neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng S
vôùi taâm O ñöôøng troøn (ABC).
Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù:
2 a 3 a 3
- AO AM vaø OM C
3 3 6
A
- AM BC, SM BC SMA
O M y
- SOM vuoâng coù:
a 3 x B
SO OM.tg tg
6
Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0),
a a 3 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3
B ; ; 0 ,C ; ; 0 ,M 0; ; 0 , O 0; ; 0 , S 0; ; tg
2 2 2 2 2 3 3 6
1 a3tg
Theå tích hình choùp: V .SO.SABC
3 24
Trang 14
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
a a 3 a 3
Ta coù: BS ; ; tg , BC (a; 0; 0)
2 6 6
a2 3 a2 3
[BS; BC] 0; tg; n
6 6
Phöông trình maët phaúng (SBC) qua B vôùi vectô phaùp tuyeán n :
a a2 3 a 3 a2 3
O x tg y (z 0) 0
2 6 2 6
a 3
(SBC) : tgy z tg 0.
2
Khoaûng caùch d töø A ñeán (SBC):
a 3 a 3
tg.O O tg tg
2 2 a 3
d sin .
tg2 1 1 2
cos
Caâu 2:
(d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông u1 (2; 1; 0)
(d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông u2 (3; 3; 0)
AB (3; 0; 4)
AB.[u1; u2 ] 36 0 AB, u1 , u2 khoâng ñoàng phaúng.
Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau.
x 3 t /
(d2) coù phöông trình tham soá: y t /
z 0
Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa (d 1) vaø (d2)
M (d1 ) M(2t; t; 4) , N (d2 ) N(3 t / ; t / ; 0)
MN (3 t / 2t; t / t; 4)
MN u1
2(3 t / 2) (t / t) 0
t / 1 M(2; 1; 4)
Ta coù:
t 1 N(2; 1; 0)
/ /
MN u2
3 t 2t (t t) 0
1
Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa MN: I(2; 1; 2), baùn kính R MN 2.
2
Vaäy, phöông trình maët caàu (S): (x 2) (y 1) (z 2)2 4.
2 2
Trang 15
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
BÀI 8
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz coù 2 maët phaúng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0,
(Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 vaø 2 ñöôøng thaúng:
x 5 y 3 z 1 x 3 y 1 z 2
(d1): ; (d 2 ) :
2 4 3 2 3 4
Vieát phöông trình ñöôøng thaúng () song song vôùi hai maët phaúng (P) vaø (Q),
vaø caét hai ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2).
Caâu 2:
Cho hình laäp phöông ABCD . A'B'C'D' caïnh a. M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB
vaø C'D'. Tính khoaûng caùch töø B' ñeán (A'MCN).
GIẢI
Caâu 1:
/ /
(P) coù phaùp vectô nP (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n P , vôùi nP (1; 4; 1)
(Q) coù phaùp vectô nQ (3; 4; 9)
(d1) coù vectô chæ phöông u1 (2; 4; 3) nq Q
np
P
(d2) coù vectô chæ phöông u2 (2; 3; 4)
( / ) (P) (Q)
u Q/
/ / P/
(P )//(P), (Q )//(Q)
Goïi: / /
u1
(d1 ) (P ), (d 2 ) (Q )
u2
/ A
u u d1 Bd
2
/
Suy ra () laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P )
vaø (Q/), vaø () // (/).
/ /
() coù vectô chæ phöông u [nP ; nQ ] (32; 12; 16) 4(8; 3; 4) 4u ,
/
vôùi u (8; 3; 4).
/
mp (P/) coù caëp vectô chæ phöông u1 vaø u neân coù phaùp vectô:
/
nP/ [u1; u ] (25; 32; 26)
Phöông trình mp (P/) chöùa (d1) ñi qua ñieåm A(-5; 3; -1) (d1 ) vôùi n P / laø:
25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0
/
(P ) : 25x 32y 26z 55 0
/
mp (Q/) coù caëp vectô chæ phöông u2 vaø u neân coù phaùp vectô:
/
nQ/ [u2 ; u ] (0; 24; 18)
Trang 16
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Phöông trình mp (Q/) chöùa (d2) ñi qua ñieåm B(3; -1; 2) (d 2 ) vôùi n Q/ laø:
0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0
/
(Q ) : 4y 3x 10 0
Ta coù: () (P / ) (Q/ ).
25x 32y 26z 55 0
Vaäy, phöông trình ñöôøng thaúng () :
4y 3z 10 0
Caâu 2:
Caùch 1:
Boán tam giaùc vuoâng AA/ M, BCM, CC/ N, A/ D/ N baèng nhau (c.g.c)
D/ N C/
/ /
A M MC CN NA
A/ MCN laø hình thoi. A/ B/
Hai hình choùp B/A/MCN vaø B/.A/NC coù chung
ñöôøng cao veõ töø ñænh B/ vaø SA/ MCN 2.SA/ NC D C
neân: VB/ .A/ MCN 2.VB/ .A/ NC.
A B
M
1 1 1 a3 a3
Maø: VB/ .ANC VC.A/ B/ N .CC/ .SA/ B/ N .a. .a.a VB/ .A/ MCN .
3 3 2 6 3
1
Ta coù: SA/ MCN .A / C.MN, vôùi A/ C a 3; MN BC/ a 2
2
a2 6
SA/ MCN .
2
1
Goïi H laø hình chieáu cuûa B/ treân (A/MCN), ta coù: VB/ .A/ MCN .B/ H.SA/ MCN
3
3.VB/ .A/ MCN a3 a2 6 a 6
B/ H 3. : .
SA/ MCN 3 2 3
Caùch 2:
Choïn heä truïc Dxyz, vôùi Dx, Dy, Dz z
ñoâi moät vuoâng goùc, a D
/
N C/
A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0),
A/
D(0; 0; 0), A/(a; 0; a),
B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a),
a a D C
M a; ; 0 , N 0; ; a a y
2 2 A
a M B
Ta coù: A/ C (a; a; a), MN (a; 0; a) x
[A C; MN] (a2 ; 2a2 ; a2 ) a2 (1; 2; 1)
/
a2 .n vôùi n (1; 2; 1).
Trang 17
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
Phöông trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) vôùi phaùp vectô n :
1(x 0) 2(y a) 1(z 0) 0
(A/ MCN) : x 2y z 2a 0.
Khoaûng caùch d töø B/(a; a; a) ñeán mp(A/MCN):
a 2a a 2a 2a a 6
d .
1 4 1 6 3
ĐỀ 9
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng:
x t x t '
(d1) : y 4 t ; vaø (d2) : y 3t ' 6
z 6 2 t z t ' 1
Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm I(1; -1; 1) treân (d2). Tìm phöông trình
tham soá cuûa ñöôøng thaúng qua K vuoâng goùc vôùi (d 1) vaø caét (d1).
Caâu 2:
1. Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a,
maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi ñaùy goùc .
GIẢI
Caâu 1:
(d1) coù vectô chæ phöông u1 (1; 1; 2)
(d2) coù vectô chæ phöông u2 (1; 3; 1)
K(d2 ) K(t / ; 3t / 6; t / 1) IK (t / 1; 3t / 5; t / 2)
18 18 12 7
IK u2 t / 1 9t / 15 t / 2 0 t / K ; ;
11 11 11 11
Giaû söû () caét (d1) taïi H(t; 4 t; 6 2t), (H (d1 ))
18 56 59
HK t; t; 2t
11 11 11
18 56 118 26
HK u1 t t 4t 0 t
11 11 11 11
30 7 1
HK 4; ; (44; 30; 7).
11 11 11
Trang 18
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
18
x 11 44
12
Vaäy, phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (): y 30 .
11
7
z 7
11
Caâu 2:
Caùch 1:
Döïng SH AB S
Ta coù:
(SAB) (ABC), (SAB) (ABC) AB, SH (SAB)
SH (ABC) vaø SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp.
Döïng HN BC, HP AC
B
SN BC, SP AC SPH SNH N
H
SHN = SHP HN = HP.
C
a 3 P
AHP vuoâng coù: HP HA.sin 60o . A
4
a 3
SHP vuoâng coù: SH HP.tg tg
4
1 1 a 3 a2 3 a3
Theå tích hình choùp S.ABC : V .SH.SABC . .tg. tg
3 3 4 4 16
Caùch 2:
Döïng SH AB
Ta coù: (SAB) (ABC), (SAB) (ABC) B, SH (SAB) SH (ABC)
Vì (SAC) vaø (SBC) cuøng taïo vôùi (ABC) moät goùc vaø ABC ñeàu, neân suy ra
H laø trung ñieåm AB.
Döïng heä truïc toïa ñoä Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz z
ñoâi moät vuoâng goùc, H(0; 0; 0), h S
a a
A ; 0; 0 ; B ; 0; 0 ,
2 2
a 3
C 0; ; 0 , S(0; 0; h), (h 0). B
2
Phöông trình mp (ABC): H C
a 3 y
z = 0, vôùi phaùp vectô n1 (0; 0;1) A 2
a
Phöông trình mp (SAC): 2
x y z x
1
a a 3 h
(SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah 3 0 vôùi n2 (2h 3; 2h; a 3)
(SAC) taïo vôùi (ABC) moät goùc :
Trang 19
- Trường THPT Trưng Vương Ñaøo Phuù Huøng
00a 3 a 3
cos
2 2 2
0 0 1. 12h 4h 3a 16h 2 3a2
1 2 16h 2 3a2
1 tg
cos2 3a2
3a2 tg2 a 3
h2 h tg
16 4
1 1 a 3 a2 3 a3
Theå tích hình choùp S.ABC: V .h.SABC . tg. tg .
3 3 4 4 16
ĐỀ 10
Caâu 1:
Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng:
x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9
(1) : ; ( 2 ):
7 2 3 1 2 1
1. Laäp phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng (3) ñoái xöùng vôùi (2) qua (1).
2. Xeùt maët phaúng ( : x + y + z + 3 = 0. Vieát phöông trình hình chieáu cuûa (2) theo
phöông (1) leân maët phaúng ().
3. Tìm ñieåm M treân maët phaúng () ñeå MM1 MM2 ñaït giaù trò nhoû nhaát bieát M1(3; 1;
1) vaø M2(7; 3; 9).
Caâu 2:
Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB = AC = a, goùc
BAC 120o , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh AB'I vuoâng
taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I).
GIẢI
Caâu 1:
x 3 7t1
1. (1 ) : y 1 2t1 coù vectô chæ phöông u1 (7; 2; 3)
z 1 3t
1
x 7 7t 2
qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) vaø
( 2 ) : y 3 2t 2 B
z 9 t coù vectô chæ phöông u2 (1; 2; 1)
2 A
Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân (1) u1
H (1 ) H(3 7t1; 1 2t1; 1 3t1 ) H K
AH (4 7t1; 2 2t1; 8 3t1 ) A/
Trang 20 B/
nguon tai.lieu . vn