Xem mẫu
- 15 Bài toán Bồi dưỡng HSG Toán Lớp 8
Bài 1Tìm x biết:
a) x2 – 4x + 4 = 25
ĐS: Tính đúng x = 7; x = -3
x − 17 x − 21 x + 1
b) + + =4
1990 1986 1004
HD: x = 2007
c) 4x – 12.2x + 32 = 0
HD: 4x – 12.2x +32 = 0 ⇔ 2x.2x – 4.2x – 8.2x + 4.8 = 0
⇔ 2x(2x – 4) – 8(2x – 4) = 0 ⇔ (2x – 8)(2x – 4) = 0
⇔ (2x – 23)(2x –22) = 0 ⇔ 2x –23 = 0 hoặc 2x –22 = 0
⇔ 2x = 23 hoặc 2x = 22 ⇔ x = 3; x = 2
1 1 1
Bài 2: Cho x, y, z đôi một khác nhau và + + = 0 .
x y z
yz xz xy
Tính giá trị của biểu thức: A = 2 + 2 + 2
x + 2 yz y + 2xz z + 2 xy
1 1 1 xy + yz + xz
Giải: + + = 0 ⇒ = 0 ⇒ xy + yz + xz = 0 ⇒ yz = –xy–xz
x y z xyz
x2+2yz = x2+yz–xy–xz = x(x–y)–z(x–y) = (x–y)(x–z)
Tương tự: y2+2xz = (y–x)(y–z) ; z2+2xy = (z–x)(z–y)
yz xz xy
Do đó: A = + +
( x − y)( x − z ) ( y − x )( y − z ) ( z − x )(z − y)
Tính đúng A = 1
Bài 3 (1,5 điểm): Tìm tất cả các số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng khi ta
thêm 1 đơn vị vào chữ số hàng nghìn , thêm 3 đơn v ị vào ch ữ s ố hàng trăm, thêm 5
đơn vị vào chữ số hàng chục, thêm 3 đơn vị vào chữ số hàng đơn vị , ta vẫn được
một số chính phương.
Giải:
Gọi abcd là số phải tìm a, b, c, d ∈ N, 0 ≤ a , b, c, d ≤ 9, a ≠ 0
Ta có: abcd = k 2
(a + 1)(b + 3)(c + 5)(d + 3) = m 2
⇔ abcd = k 2
⇔
- abcd + 1353 = m 2
Do đó: m2–k2 = 1353
⇒ (m+k)(m–k) = 123.11= 41. 33 ( k+m < 200 )
⇒ m+k = 123 m+k = 41
hoặc
m–k = 11 m–k = 33
m = 67 hoặc m = 37
⇔
k = 56 k= 4
Kết luận đúng abcd = 3136
Bài 4 : Cho tam giác ABC nhọn, các đường cao AA’, BB’, CC’, H là tr ực tâm. a)
HA' HB' HC'
Tính tổng + +
AA' BB' CC'
b) Gọi AI là phân giác của tam giác ABC; IM, IN thứ tự là phân giác của góc AIC và
góc AIB. Chứng minh rằng: AN.BI.CM = BN. IC.AM.
(AB + BC + CA ) 2
c) Tam giác ABC như thế nào thì biểu thức đạt giá trị nhỏ
AA' 2 + BB' 2 + CC' 2
nhất?
Giải:
1
.HA'.BC
S HBC 2 HA'
a) = = ;
S ABC 1 AA'
.AA'.BC
2
S HAB HC' S HAC HB'
Tương tự: = ; =
S ABC CC' SABC BB'
HA' HB' HC' SHBC S HAB S HAC
+ + = + + =1
AA' BB' CC' S ABC S ABC S ABC
b) Áp dụng tính chất phân giác vào các tam giác ABC, ABI, AIC:
BI AB AN AI CM IC
= ; = ; =
IC AC NB BI MA AI
BI AN CM AB AI IC AB IC
. . = . . = . =1
IC NB MA AC BI AI AC BI
⇒ BI .AN.CM = BN.IC.AM
c)Vẽ Cx ⊥ CC’. Gọi D là điểm đối xứng của A qua Cx
-Chứng minh được góc BAD vuông, CD = AC, AD = 2CC’
- Xét 3 điểm B, C, D ta có: BD ≤ BC + CD
- ∆ BAD vuông tại A nên: AB2+AD2 = BD2
⇒ AB2 + AD2 ≤ (BC+CD)2
AB2 + 4CC’2 ≤ (BC+AC)2
4CC’2 ≤ (BC+AC)2 – AB2
Tương tự: 4AA’2 ≤ (AB+AC)2 – BC2
- 4BB’2 ≤ (AB+BC)2 – AC2
-Chứng minh được : 4(AA’2 + BB’2 + CC’2) ≤ (AB+BC+AC)2
(AB + BC + CA ) 2
⇔ ≥4
AA'2 + BB'2 + CC'2
Đẳng thức xảy ra ⇔ = AC, AC = AB, AB = BC ⇔ = AC =BC
BC AB
⇔ABC đều
∆
Bài 5:
Cho ( a − b ) + ( b − c ) + ( c − a ) = 4.( a + b + c − ab − ac − bc ) .
2 2 2 2 2 2
Chứng minh rằng a = b = c.
Giải: Biến đổi đẳng thức để được
a 2 + b 2 − 2ab + b 2 + c 2 − 2bc + c 2 + a 2 + 2ac = 4a 2 + 4b 2 + 4c 2 − 4ab − 4ac − 4bc
Biến đổi để có (a 2 + b 2 − 2ac) + (b 2 + c 2 − 2bc) + (a 2 + c 2 − 2ac) = 0
Biến đổi để có (a − b) 2 + (b − c) 2 + (a − c) 2 = 0 (*)
ì (a − b) 2 ≥ 0 ; (b − c) 2 ≥ 0 ; (a − c) 2 ≥ 0 ; với mọi a, b, c
nên (*) xảy ra khi và chỉ khi (a − b) 2 = 0 ; (b − c) 2 = 0 và (a − c) 2 = 0 ;
Từ đó suy ra a = b = c
Bài 6:
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = a 4 − 2a 3 + 3a 2 − 4a + 5 .
Giải: Biến đổi để có A= a 2 (a 2 + 2) − 2a(a 2 + 2) + (a 2 + 2) + 3
= (a 2 + 2)(a 2 − 2a + 1) + 3 = (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3
Vì a 2 + 2 > 0 ∀a và (a − 1) 2 ≥ 0∀a nên (a 2 + 2)(a − 1) 2 ≥ 0∀a
do đó (a 2 + 2)(a − 1) 2 + 3 ≥ 3∀a
Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a − 1 = 0 ⇔ a = 1
Bài 7
Cho tam giác ABC vuông tại A có góc ABC bằng 600, phân giác BD. Gọi
M,N,I theo thứ tự là trung điểm của BD, BC, CD.
a, Tứ giác AMNI là hình gì? Chứng minh.
b, Cho AB = 4cm. Tính các cạnh của tứ giác AMNI.
Giải:
a) Chứng minh được tứ giác AMNI là hình thangB
Chứng minh được AN=MI,
từ đó suy ra tứ giác AMNI là hình thang cân
4 3 8 3 M N
b) Tính được AD = cm ; BD = 2AD = cm
3 3
1 4 3
AM = BD = cm
2 3
A
4 3 D I C
Tính được NI = AM = cm
3
8 3 1 4 3
DC = BC = cm , MN = DC = cm
3 2 3
8 3
Tính được AI = cm
3
- Bài 6 (5 điểm)
Hình thang ABCD (AB // CD) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng
qua O và song song với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, Chứng minh rằng OM = ON.
1 1 2
b, Chứng minh rằng + = .
AB CD MN
c, Biết SAOB= 20082 (đơn vị diện tích); SCOD= 20092 (đơn vị diện tích). Tính
SABCD.
Giải: A B
OM OD ON OC
a) Lập luận để có = , = O
AB BD AB AC M N
OD OC
Lập luận để có =
DB AC
OM ON
⇒ = ⇒ OM = ON
AB AB D C
OM DM OM AM
b) Xét ∆ABD để có = (1), xét ∆ADC để có = (2)
AB AD DC AD
1 1 AM + DM AD
Từ (1) và (2) ⇒ OM.( + )= = =1
AB CD AD AD
1 1
Chứng minh tương tự ON. ( + ) =1
AB CD
1 1 1 1 2
từ đó có (OM + ON). ( + )=2 ⇒ + =
AB CD AB CD MN
S AOB OB S BOC OB S S
c) S = , S = ⇒ AOB = BOC ⇒ S AOB .S DOC = S BOC .S AOD
AOD OD DOC OD S AOD S DOC
Chứng minh được S AOD = S BOC
⇒ S AOB .S DOC = ( S AOD ) 2
Thay số để có 20082.20092 = (SAOD)2 ⇒ SAOD = 2008.2009
Do đó SABCD= 20082 + 2.2008.2009 + 20092 = (2008 + 2009)2 = 40172 (đơn vị DT
Bài 7
b2 + c2 − a 2 a 2 − (b − c)2
Cho x = ;y=
2bc (b + c) 2 − a 2
Tính giá trị P = x + y + xy
Bài 8
Giải phương trình:
1
1 1 1
a, = +b+ (x là ẩn số)
a+b− x a x
(b − c)(1 + a ) 2 (c − a )(1 + b) 2 (a − b)(1 + c) 2
b, + + =0
x + a2 x + b2 x + c2
(a,b,c là hằng số và đôi một khác nhau)
Bài 9
- Xác định các số a, b biết:
(3 x + 1) a b
3 = 3 +
( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) 2
Bài 10
Chứng minh phương trình:
2x2 – 4y = 10 không có nghiệm nguyên.
Bài 11
Cho ∆ ABC; AB = 3AC
Tính tỷ số đường cao xuất phát từ B và C
Bài 11
� 2 � 1 � 1 �1 �
� x −1
Cho biểu thức: A = � 3 � + 1� 2
+ � + 1�: 3
�
�x + 1) �
( x � x + 2x + 1 � 2
x � x
�
a/ Thu gọn A
b/ Tìm các giá trị của x để A
nguon tai.lieu . vn
