Xem mẫu
- 11 H PHƯƠNG TRÌNH HAY
8
1A
1 Gi i h phương trình:
x3 − y 3 = 35
2x2 + 3y 2 = 4x − 9y
L i gi i
p1
Phân tích: Đây có l là bài quen thu c đ i v i nhi u b n, đ gi i h này ta ph i quan sát các h ng
t c a 2 phương trình. Phương trình ban đ u là b c 3, phương trình 2 là b c 2 và b c m t, t đó
ta lien tư ng đ n h ng đ ng th c (a + b)3 , v y ta ph i c g ng tìm 1 h s nhân vào phương trình 1
ho c phương trình 2 đ khi c ng ho c tr 2 v ta s ra h ng đ ng th c đó.
Gi i:
Ta nhân phương trình (2) cho 3. Khi đó ta có h m i là:
x3 − y 3 = 35
6x2 + 9y 2 = 12x − 27y
-L
Ta l y phương trình (1) tr đi phương trình (2), ta đư c:
x3 − y 3 − 35 − 6x2 − 9y 2 + 12x − 27y = 0
⇔ (x3 − 6x2 + 12x − 8) − (y 3 + 9y 2 + 27y + 3) = 0
⇔ (x − 2)3 = (y + 3)3 ⇔ x = y + 5
Thay x = y + 5 vào m t trong 2 phương trình ban đ u ta s tìm đư c nghi m
Đáp s : (x; y) = (3; −2); (2; −3)
V y ý tư ng gi i quy t bài d ng này là tìm 1 h s α nhân vào phương trình ch a b c 2 và b c 1 đ
uy
khi c ng tr 2 v phương trình ta s thu đư c h ng đ ng th c (a + b)3 .
(1) + (2).α ⇔ (x + a)3 = (y + b)3
Sau đây là m t s bài tương t đ các b n rèn luy n thêm:
x3 + y 3 = 91
tD
1) Đáp s : (x; y) = (3; 4); (4; 3)
4x2 + 3y 2 = 16x + 9y
x3 + y 3 = 9
2) Đáp s : (x; y) = (2; 1); (1; 2)
x2 + 2y 2 = x + 4y
x3 + 3xy 2 = −49
3) Đáp s : (x; y) = (−1; −4); (−1; 4)
x2 − 8xy + y 2 = 8y − 17x
2 Gi i h phương trình:
−x3 + 3x + 4 = y
Nh
2y 3 − 6y − 2 = x
L i gi i
Phân tích: Tho t nhìn bài này, có nhi u b n s c g ng dùng các phương pháp th ho c tìm h
s nhân cho 1 phương trình nào đó đ bi n đ i, nhưng các cách đó s r t ph c t p ho c khó khăn
trong vi c xoay s và tìm ki m. Vì th ta liên tư ng đ n vi c dùng phương pháp đánh giá đ tìm
nghi m h phương trình. (n u b n nào nhanh m t có th đoán nghi m c a phương trình r i c g ng
Lê
tách đ so sánh v i nghi m đó đ bi n lu n nghi m duy nh t)
Gi i:
Ta có h phương trình đã cho tương đương v i:
Lê Nh t Duy - L p 11A8 1
- −(x3 − 3x − 2) = y − 2 −(x + 1)2 (x − 2) = y − 2 (1)
⇔
8
2(y 3 − 3y − 2) = x − 2 2(y + 1)2 (y − 2) = x − 2 (2)
T đó, ta xét: N u x > 2 thì t phương trình (1) ta suy ra y < 2, nhưng y < 2 thì s không th a
1A
phương trình (2) vì th ta lo i. Tương t n u x < 2 ta cũng lo i.
V y x = 2 ,suy ra y = 2. Th l i ta th y đó là nghi m c a h .
Đáp s : (x; y) = (2; 2).
3 Gi i h phương trình:
p1
x4 + y 2 = 698
81
x2 + y 2 + xy − 3x − 4y + 4 = 0
L i gi i
Phân tích: Các b n s r t khó gi i n u c chú ý t i phương trình 1, vì nó là m t cái b c 4 và 1
cái b c 2 không liên quan gì nhau. Hãy quan sát phương trình 2 ta th y đó là phương trình b c cao
nh t là b c 2 đ i v i các h ng t .Vì th ta s phân tích tích nghi m c a phương trình 2 theo n x
và theo n y. M t là n u ∆ là s chính phương thì ta có th phân tích thành nhân t r i k t h p v i
Gi i:
T phương trình (2) ta có:
-L
phương trình 1 tìm nghi m,hai là ta có th tìm đi u ki n c a x và y đ bi n lu n phương trình.
x2 + (y − 3)x + (y − 2)2 = 0
Đ phương trình có nghi m thì:
7
∆ = (y − 3)2 − 4(y − 2)2 ≥ 0 ⇔ 1 ≤ y ≤
3
uy
Tương t ta vi t phương trình (2) thành:
y 2 + (x − 4)y + x2 − 3x + 4 = 0
Đ phương trình có nghi m thì:
4
∆ = (x − 4)2 − 4(x2 − 3x + 4) ≥ 0 ⇔ 0 ≤ x ≤
tD
3
T đó ta suy ra:
256 49 687 698
x4 + y 2 ≤ + = <
81 9 81 81
V y h phương trình đã cho vô nghi m.
4 Gi i h phương trình:
18x2
2012
= y2
4 2 3
y x − 6x2 y 2 + 81 + 3 + x2 y 2 − 9y 2 x +
y2
Nh
4
x(x + y 4 ) = y 6 (1 + y 4 )
L i gi i
Xét y = 0 không là nghi m c a h phương trình,
ta chia 2 v c a phương trình (2) cho y 5 T phương trìnnh th 2, ta có:
x5 x
+ = y5 + y
y5 y
Xét hàm f (t) = t5 + t, f (t) = 5t4 + 1 > 0∀t. ⇔ x = y 2
Lê
Thay vào phương trình (1) ta đư c:
√
4
√
x4 − 6x3 + 81 + 2012 x3 − 9x2 + 18x = x − 3
√ √
Đ t 4 x4 − 6x3 + 81 = a, 2012 x3 − 9x2 + 18x = b (a, b > 0). Ta có:
2 Trư ng THPT Thành Ph Cao Lãnh - t nh Đ ng Tháp
- a+b=x−3
⇒ (a + b)4 = a4 − 6b2012 ⇒ b = 0
8
a4 − 6b2012 = (x − 3)4
⇒ x = 6 ho c x = 3 (nghi m x = 0 lo i)
√ √
1A
Đáp s : (x; y) = 3; ± 3 ; 6; ± 6
5 Gi i h phương trình:
x + 6√xy − y = 6
(1)
3 3
x + 6(x + y ) − 2(x2 + y 2 ) = 3 (2)
p1
x2 + xy + y 2
L i gi i
Phân tích: Dùng b t đ ng th c đ đánh giá nghi m.
Gi i:
xy ≥ 0
Đi u ki n:
x2 + xy + y 2 = 0
N u x = 0 ho c y = 0 thì h phương trình vô nghi m
N u x ≤ 0, y ≤ 0(x, y không đ ng th i b ng 0) thì VT c a (2) âm, PT (2) không th a mãn. Do đó
M t khác, ta có:
√
x2 + y 2
-L
x > 0, y > 0. Vì 2 xy ≤ x + y nên PT (1) suy ra:
√
6 = x + xy − y ≤ x + 3(x + y) − y = 4x + 2y ⇒ 2x + y ≥ 3 (3).
3(x2 + y 2 ) 3(x3 + y 3 ) 2(x3 + y 3 )
xy ≤ ⇒ x2 + xy + y 2 ≤ ⇒ 2 ≥ (4)
2 2 x + xy + y 2 x2 + y 2
Ta ch ng minh r ng:
2(x3 + y 3 )
≥ 2(x2 + y 2 ) (5)
uy
x2 + y 2
Th t v y BDT (5) tương đương v i:
2(x3 + y 3 )2 ≥ (x2 + y 2 )3 ⇔ x6 + y 6 + 4x3 y 3 ≥ 3x4 y 2 + 3x2 y 4 (6)
Áp d ng BDT Cauchy ta có:
tD
x6 + x3 y 3 + x3 y 3 ≥ 3 3 x1 2y 6 = 3x4 y 2
y 6 + x3 y 3 + x3 y 3 geq 3 x6 y 1 2 = 3x2 y 4
C ng v theo v ta đư c BDT (6) , suy ra BDT (5) đúng.
3(x3 + y 3 )
T (4) và (5) suy ra 2 ≥ 2(x2 + y 2 )
x + xy + y 2
K t h p v i PT (2) và lưu ý r ng: 2(x2 + y 2 ) ≥ x + y , ta đư c :
6(x3 + y 3 )
3=x+ 2 − 2(x2 + y 2 ) ≥ x + 2(x2 + y 2 ) ≥ x + (x + y) = 2x + y (7)
x + xy + y 2
T (3) và (7) suy ra 2x + y = 3 và x = y. Ta đư c x = y = 1 ( th a m n đi u ki n).
Nh
Đáp s : (x; y) = (1; 1).
6 Gi i h phương trình:
x + y = 1 − 2y
2−y
1 + xy
x − y = 1 − 3x
1 − xy 3−x
L i gi i
Lê
Phân tích: Bài này nhìn vào r t ph c t p, không bi t đ nh hư ng đi t đâu, vì th phãi c g ng
tìm cách đ t n đ đưa v m t phương trình đơn gi n hơn.
Gi i:
Lê Nh t Duy - L p 11A8 3
- u − v = 2 − u (1)
u−1 v−1
8
Đ t: x = , y= , u+v u+2
u+1 v+1 uv − 1 = 3 − v (2)
uv + 1 3+v
1A
T phương trình (1) ta có
u−v 2−u 2−v 2 + v − 2u
= = = ⇒ (2 − v)2 = (2 + v)2 − 4u2 ⇒ u2 = 2v
u+v u+2 2 + v + 2u 2−v
T phương trình (2) ta có :
uv − 1 3−v 3u − uv 3u − 1 3u + 1 − 2uv
= = = =
uv + 1 3+v 3u + uv 3u + 1 + 2uv 3u − 1
⇒ (3u − 1)2 = (3u + 1)2 − 4u2 v 2 ⇔ u2 v 2 = 3u
p1
u2 = 2v
V y ta có h : (3)
u2 v 2 = 3u
Xét u = 0 ⇒ v = 0 ⇒ x = y = −1 ⇒ xy = 1 (lo i do 1 − xy = 0)
u2 = 2v
Như v y (3) tương đương:
uv 2 = 3
9 √ √
T h trên suy ra u > 0 ⇒ u2 v 4 = 9 ⇒ 2v.v 4 = 9 ⇒ v = 5 ⇒ u2 = 5 144 ⇒ u = 5 12 (do u > 0)
2
√
Đáp s : (x; y) =
5
√12 − 1 ; 2
5
-L
5 9
−1
12 + 1 5 9 + 1
2
7 Gi i h phương trình:
xy + (x − y)(√xy − 2) + √x = y + √y
uy
(x + 1) y + √xy + x(1 − x) = 4
L i gi i
Phân tích: Ta th và d đoán h phương trình s có nghi m x = y. Vì th ta s tìm cách đ phân
tD
tích thành phương trình tích xu t hi n (x − y)(. . . ..). T đó ta quan sát và th y phương trình (1) là
kh thi nh t.
Gi i:
Đi u ki n: x ≥ 0; y ≥ 0 Phương trình (1) tương đương:
√ √ √
⇔ xy + (x − y)( xy − 2) − y + ( x − y) = 0
√
y(x − y) + (x − y)( xy − 2) x−y
⇔ √ +√ √ =0
xy + (x − y)( xy − 2) + y x+ y
√
y + xy − 2 1
⇔ (x − y) √ +√ √ =0
Nh
xy + (x − y)( xy − 2) + y x+ y
T PT (2) suy ra :
√ 4 4 4
y + xy = − x(1 − x) = + (x + 1) + (x − 1)2 − 2 ≥ 2. .(x + 1) + (x − 1)2 − 2 ≥ 2
x+1 x+1 x+1
T đó ta suy ra x = y. Thay x = y vào phương trình (2). Ta có:
x3 − 2x2 − 3x + 4 = 0 ⇔ (x − 1)(x2 − x − 1) = 0 ⇔ x = 1 ho c x2 − x − 1 = 0
Xét x = 1 ⇔ y = 1 √ √ √
Lê
2 1+ 5 1+ 5 1− 5
Xét x − x − 1 = 0. x = ⇔y= , x= (lo i vì x ≥ 0)
√2 √ 2 2
1+ 5 1+ 5
Đáp s : (x; y) = (1; 1), ;
2 2
4 Trư ng THPT Thành Ph Cao Lãnh - t nh Đ ng Tháp
- 8 Gi i h phương trình:
8
x2 − y 2 = xy (x + 3)
x2 (1 − 4xy 2 ) = y 2 (1 + 8x2 )
1A
L i gi i
Phân tích: Ta chú ý r ng: Phương trình (2) bi n đ i m t chút ta đư c :
x2 − 4x3 y 4 = y 2 + 8x2 y 2 ⇐⇒ x2 − y 2 = 4x3 y 4 + 8x2 y 2
Phương trình (1) sau khi đi u ki n ta bình phương hai v cũng thu đư c :
x2 − y 2 = x2 y 2 (x + 3)2
p1
T i đây ta s ngh đ n phép th và b t nhân t chung ngay nên vi c còn l i ch là gi i các phương
trình cơ b n.
Gi i:
T phương trình (1) ta bi n đ i :
xy(x + 3) ≥ 0
x2 − y 2 = xy(x + 3) ⇐⇒ (3)
x2 − y 2 = x2 y 2 (x + 3)2
Ta l i có phương trình (2) ta bi n đ i thành :
-L
x2 − 4x3 y 4 = y 2 + 8x2 y 2 ⇐⇒ x2 − y 2 = 4x3 y 4 + 8x2 y 2
Th vào (3) ta đư c h phương trình :
xy(x + 3) ≥ 0
xy(x + 3) ≥ 0 xy(x + 3) ≥ 0
x=0
⇐⇒ ⇐⇒ (4)
4x3 y 4 + 8x2 y 2 = x2 y 2 (x + 3)2 x2 y 2 (x + 1)2 = 0 y = 0
x = −1
uy
V i:
) x = 0 =⇒ y = 0
) y = 0 =⇒ x = 0 √
5
tD
) x = −1 =⇒ y = ±
5 √
5
Đáp s : (x; y) = (0; 0), −1; ±
5
9 Gi i h phương trình:
x3 − 8x = y 3 + 2y
x2 − 3 = 3(1 + y 2 )
Nh
L i gi i
Phân tích: N u bài này ta làm như bình thư ng là th thì s là r t khó khăn trong vi c x lý.
Nên ta s tìm 1 phương pháp khác, đó là phương pháp th vào m t h s nào đó c a 1 phương trình
b ng 1 phương trình trong h đ t o s đ ng b c gi a 2 phương trình.
Gi i:
H đã cho tương đương v i:
x3 − y 3 = 2(4x + y) 3(x3 − y 3 ) = 6(4x + y)
Lê
⇐⇒
x2 − 3y 2 = 6 x2 − 3y 2 = 6
Th x2 − 3y 2 = 6 vào phương trình (1) khi đã nhân 3, ta đư c:
3(x3 − y 3 ) = (x2 − 3y 2 )(4x + y) ⇐⇒ x3 + x2 y − 12xy 2 = 0 (∗)
Lê Nh t Duy - L p 11A8 5
- Xét y = 0 không là nghi m c a h , ta chia y 2 cho 2 v c a phương trình (∗), ta đư c:
8
x3 x2 12x
(∗) ⇐⇒ 3 + 2 − =0
y y y
x
Đ t t = , suy ra:
1A
y
(∗) ⇐⇒ t3 + t2 − 12t = 0 ⇐⇒ t(t2 + t − 12) = 0
Xétt = 0 ⇐⇒ x = 0 ( không là nghi m)
Xét t = 3 ⇐⇒ x = 3y
Xét t = −4 ⇐⇒ x = −4y
p1
Thay l n lư t vào 1 trong hai phương trình ban đ u ta gi i ra nghi m.
6 6 6 6
Đáp s : (x; y) = (3; 1), (−3; −1), −4 13 ; 13 , 4 13 , − 13
Sau đây là m t bài tương t đ các b n rèn luy n thêm:
x3 + 4y = y 3 + 16x
1) Gi i h phương trình: Đáp s : (x; y) = (−1; 3), (1; −3), (0; 2), (0; −2)
1 + y 2 = 5(1 + x2 )
10 Gi i h phương trình:
(x − 3y) (6x + 18y + 5) = 4x
-L
(x2 + 2xy + 4y 2 ) (8x − 16y − 9) + 9x2 + 4x = 78y − 18xy + 26
L i gi i
Phân tích: Do 2 phương trình c a h đ u có phương trình tích nên ta s phân ph i và rút g n cho
b t c ng k nh. Sau đó s dùng các bi n pháp đ gi i.
Gi i:
Ta có:
uy
(x − 3y)(6x + 18y + 5) = 4x ⇐⇒ 6x2 + x = 54y 2 + 15y
(x2 + 2xy + 4y 2 )(8x − 16y − 9) + 9x2 + 4x = 78y − 18xy + 26 ⇐⇒ 8x3 + 4x = 64y 3 + 36y 2 + 78y + 26
Như v y ta vi t h thành:
6x2 + x = 54y 2 + 15y
tD
8y 3 + 4x = 64y 3 + 36y 2 + 78y + 26
Ta nhân phương trình th nh t v i 2 r i c ng v i phương trình th hai thì thu đư c:
(2x + 1)3 = (4y + 3)3 .
T đây ta có: x = 2y + 1. T i đây các b n th vào (1) ho c (2) gi i s ra nghi m.
12 7 1 1
Đáp s : (x; y) = ; , ;−
5 10 3 3
11 Gi i h phương trình:
Nh
√
(x + x2 + 1)(y + y 2 + 1) = 1
1 −3
y + √ + =0
5x2 − 1 2
L i gi i
Phân tích: Ta bi n đ i b ng cách dùng bi u th c liên h p t phương trình đ u .
Gi i:
T phương trình đ u ta có :
Lê
√ √ √ √
(x + x2 + 1)(x − x2 + 1)(y + y 2 + 1) = x − x2 + 1 ⇐⇒ y + y 2 + 1 = x2 + 1 − x
Tương t ta cũng có:
√
x + x2 + 1 = y 2 + 1 − y
6 Trư ng THPT Thành Ph Cao Lãnh - t nh Đ ng Tháp
- C ng v theo v ta đư c x + y = 0 Thay vào phương trình 2 ta đư c :
8
1 3
y+ − =0
5y 2 − 1 2
Ta chuy n v sau đó bình phương , ta đư c:
1A
(y − 1)(2y + 1)(10y 2 − 25y + 13) = 0
1 5 − 21 5
Ta ch nh n các nghi m : y = 1, y = − , y = , T đó ta suy ra nghi m c a h .
2 4
1 1 −5 + 21 5 − 21
5 5
Đáp s : (x; y) = (−1; 1), ;− , ; .
p1
2 2 4 4
-L
uy
tD
Nh
Lê
Lê Nh t Duy - L p 11A8 7
nguon tai.lieu . vn
