100 hệ phương trình

HỆ PHƯƠNG TRÌNH (Phần I) 1. 2x − 2y = ( y − x)(xy + 2) x + y = 2 ln(1+ x)−ln(1+ y)= x − y x2 −12xy + 20y2 = 0 x3 − y3 + 6y2 −3x −9y + 2 = 0 3. log 1− x2 +1 + log x2 + 2 = 0  2 + 4y − y2 −3 4. x + x2 − 2x + 2 = 3y−1 +1  y + y2 − 2y + 2 = 3x−1 +1  y2 −x2 x2 +1 5.  y2 +1 3log3 (x + 2y + 6)= 2log2 (x + y + 2)+1 6. x + y2 + 8x + y =16  x + y = x − y  7.   x + y +1 + 3 x + y = 5 x2 + xy + 4 + y2 + xy + 4 =12 2x2 y + y3 = 2x4 + x6 (x + 2) y +1 = (x +1)2  x −1+ 3 y + 6 = y2 −1  y −1+ 3 x + 6 = x2 −1 x3 (2 + 3y) =1 11. x(y3 − 2)= 3  7x + y + 2x + y = 5  2x + y + x − y = 2 (2x + y)2 −5(4x2 − y2 )+ 6(2x − y)2 = 0 15. 2x + y + 2x − y = 3  4 2 698 10.  81 x2 + y2 + xy −3x − 4y + 4 = 0  1+ 42x− y . 1−2x+ y =1+ 22x− y+1 12.  y + 4x +1+ ln y + 2x = 0 xy −3x − 2y =16 x2 + y2 − 2x − 4y = 33 x2 + y2 −3x + 4y =1 3x2 − 2y2 −9x −8y = 3 x x − x = y y +8 y x − y = 5 2y x2 − y2 = 3x 19. x x + y =10y x2 + xy − y2 = 5 18.  x − 2 y = −2 − xy  6x x + y 5 20.  x + y 6x 2 x + y − xy = 9 21. x3 +5y = y3 +5x x y 1 23. x2 ( y +1)(x + y +1) = 3x2 − 4x +1 xy + x +1= x Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình 22.  x + 4 32 − x − y2 = −3  4 x + 32 − x + 6y = 24 24.  y + xy2 = 6x2 1 x y 5x Trang 1 25.  y2 = (5x + 4)(4 − x)  y −5x − 4xy +16x −8y +16 = 0 27. 2x3 −9y3 = (x − y )(2xy + 3) x − xy + y = 3 x2 +1+ y x + y = 4y 26. (x2 +1)(x + y − 2)= y 4xy + 4(y2 + x2 )+ 3 2 = 7 28. 2x + x + y = 3  29.   2y 3− y + 42x  = 4 x 3− y + 42x  = 2 x + 2xy = x2 + y  3 x2 − 2x + 9  y + 2xy = y2 + x  3 y2 − 2y + 9  y = −x3 +3x + 4 x = 2y3 −6y − 2 x3 +1= 2 x2 − x + y 33.  y +1= 2 y − y + x x − y = ex − ey 32. log2 x + 3log1 y = −2 (x + x2 +1)(y + y2 +1)=1 34.  y + y + 35 = 0  x2 −1 x2 + 3y = 9  y4 + 4(2x −3)y2 − 48y − 48x +155 = 0 x2 + y2 =1 125y5 −125y3 + 6 15 = 0 x3 − xy2 + 2000y = 0  y3 − yx2 −500x = 0 x2 y2 − 2x + y2 = 0 2x2 − 4x +3+ y3 = 0  1 1 2 39.  1+ 2x2 1+ 2y2 1+ 2xy  x(1− 2x) + y(1− 2y) = 9 (3− x) 2 − x − 2y 2y −1 = 0 40. 2 2 − x − 2y −1 =1 x3 − y3 = 9 x2 + 2y2 − x + 4y = 0 2x2 y +3xy = 4x2 +9y 7y + 6 = 2x2 +9x x4 − 4x2 + y2 −6y +9 = 0 x2 y + x2 + 2y − 22 = 0 47. x2 + y2 − xy = 3  x2 +1+ y2 +1 = 4 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình x3 −8x = y3 + 2y 42. x2 −3 = 3(y2 +1) x4 − x3y + x2 y2 =1 x3y − x2 + xy =1 8x3y3 + 27 =18y3 4x2 y + 6x = y2 48. ex− y + ex+ y = 2(x +1) e = x − y +1 Trang 2 (1+ 4x− y ).51−x+ y =1+ 3x− y+2 49. x2 −3y y − x =1− 2y 51. 2x2 + x − 1 = 2  y − y2x − 2y2 = −2 2+ 6y = x − x − 2y 50.   x + x − 2y = x + 3y − 2 52.  y x2 − y2 =12 x + y + x2 − y2 =12  53.   x + y + x − y = 2 y x + 5y = 3 x2 + y2 + xy +1= 4y  y(x + y)2 = 2x2 + 7y + 2 2y2 − x2 =1 2x3 − y3 = 2y − x 57. (4x2 +1)x + ( y −3) 5− 2y = 0 4x2 + y2 + 2 3− 4x = 7 x3 +8y3 − 4xy2 =1 2x4 +8y4 − 2x − y = 0 x2 + x = 2y  y2 + y = 2x 2x2 y +3xy = 4x2 +9y 7y + 6 = 2x2 +9x  y + xy2 = −6x2 1+ x3y3 =19x3 61. 2(2x +1)3 + 2x +1= (2y −3) y − 2  4x + 2 + 2y + 4 = 6 x2 + y2 +1+ xy = y 62. x + y − 2 = x2 +1 x4 + x3 y + 9y = y3x + x2 y2 + 9x 63. x(y2 − x2 )= 7 x3 − y3 = 35 2x2 +3y2 = 4x −9y  1 + y = 2 x + 2 65.   y x2 +1 −1 = 3x2 + 3 66. 1− y +3x  12  y +3x  x = 2 y = 6 x + x + 3y = 3 67.  y − y −3x = 0  x11 + xy10 = y22 + y12 69. 6y4 + 3x + 2 = 2y4.3 x(5x2 + 2x +8) x4 − 4x + 2xy−2x+4 = 5 2x − 2y = y3 − x3 x2 + y2 = 1 70. 4x2 +3x − 25 = −y(3x +1)  2x + 24 6 − x − y2 = 2 2  4 2x + 2 6 − x + 2 2y = 8+ 2 x2 y2 − 2x + y2 = 0 2x2 − 4x +3+ y3 = 0 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 3 x4 − y4 = 240 73. x3 − 2y3 = 3(x2 − 4y2 )− 4(x −8y) 2(x3 + 2x − y −1)= x2 ( y +1) 75. y3 + 4x +1+ ln(y2 + 2x)= 0 x 1− y2 + y 1− x2 =1 (1− x)(1+ y)= 2 79. (2x2 −1)(2y2 −1)= 7xy x2 + y2 + xy − 7x − 6y +14 = 0 x2 y + y + xy2 + x =18xy x4 y2 + y2 + x2 y4 + x2 = 208x2 y2 4x3 +3xy2 = 7y  y3 + 6x2 y = 7 x3 + 2xy2 +12y = 0 8y2 + x2 =12 x3 + y3 − xy2 =1 4x4 + y4 = 4x + y x4 + y4 = 2 x3 − 2x2 + 2x = y2 91.  x2 + y2 + x2 + xy + y2 = x + y x 2xy +5x +3 = 4xy −5x −3 xy(5−3y + 2xy)= 4 +3y 93.  y + x2 −5xy + 4=0 95. 3−( y +1)2 = x − y x +8y = x − y −9  x − y =9 − x + 2y x(x + 4y − 2)+ y(4y + 2)= 41 2x2 − x(y −1)+ y2 =3y x(x −1)+ y(x + 2)−3y2 =0 Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình  y3 + y = x3 +3x2 + 4x + 2 74.  1− x2 − y = 2− y −1 x3 + 2y2 = x2 y + 2xy 76. 2 x2 − 2y −1+ 3 y3 −14 = x − 2 x4 + 2x3y + x2 y2 = 2x +9 x2 + 2xy = 6x + 6 x − y = cosx − cos y 80. x2 y −3y −18 = 0  xy + 1− y = y 82. 2 xy − y − y = −1 x3 +3xy2 = −49 x2 −8xy + y2 = 8x −17y  y3 + y2x +3x −6y = 0 x2 + xy = 3 27x3y3 +125 = 9y3 45x2 y + 75x = 6y2 x2 − 2xy + x + y = 0 x4 − 4x2 y +3x2 + y2 = 0 x2 + y2 + 2xy =1 92.   x + y = x2 − y x2 + y + x3 y + xy2 + xy = −5 94. x4 + y2 + xy(1+ 2x)= 4 5x2 y − 4xy2 +3y3 − 2(x + y)=0 96. xy(x2 + y2 )+ 2=(x + y)2  x + y + x x + y = 2y + 2y2 98.  x2 + 4y −3 +1= 3x − 2 + y xy = x + 7y +1 x2 y2 =10y2 −1 Trang 4 CÁC BÀI GIẢI Bài 1. Ta có: 2x − 2y = ( y − x)(xy + 2) x2 + y2 = 2 x2 + y2 = 2 2x − 2y = ( y − x) xy + x2 + y2 x2 + y2 = 2 x2 + y2 = 2 2x −2y = y3 − x3 2x + x3 = 2y + y3 Xét hàm số f (t )= 2t +t3 trên . Ta có: f `(t )= 2t.ln2+3t2 > 0 ∀ t ∈ nên f (t ) là hàm đồng biến trên . Vậy 2x + x3 = 2y + y3  x = y. Lúc này, hệ trở thành: x2 +yy2 = 2  x = y = −1 Vậy hệ có các nghiệm là (x ;y)= (1;1),(−1;−1) Bài 2: Điều kiện x,y >−1. Ta có: ln(1+ x)−ln(1+ y)= x − y (x − 2y)(x −10y)= 0 x2 −12xy + 20y2 = 0 ln(1+ x)−ln(1+ y)= x − y x = 2y  x =10y ln(1+ x)− x = ln(1+ y)− y Dễ thấy rằng x,y cùng dấu. Xét hàm số f (t )= ln(1+t )−t trên −1;+). Đạo hàm: f `(t )= 1+t −1= 1+t . Ta có: f `(t )= 0  t = 0. Vậy hàm số đồng biến trên −1;0 và nghịch biến trên 0;+ . +) Nếu x,y cùng âm (tức là cùng thuộc (−1;0)) thì theo tính chất của hàm số f (t ), ta có: x = y. Thay vào hệ giải được nghiệm x = y = 0 (loại). +) Nếu x,y cùng dương, tương tự ta cũng loại nốt. +) x = y = 0 thoả mãn hệ. Vậy nghiệm của hệ là (x ;y)= (0;0) Bài 3: Nhận xét: Chắc chắn không thể sử dụng phép thế hay đánh giá. Nhận thấy phương trình thứ nhất của hệ chứa các hàm riêng biệt với x,y (chứa x3,x và y3, y2, y mà không chứa xy) nên ta có thể đưa phương trình thứ nhất về cùng một hàm số rồi sử dụng đạo hàm để giải. Điều kiện x∈−1;1, y∈1;3. Từ đó suy ra: (x −1)∈−2;0 và (y −3)∈−2;0. Khai thác phương trình thứ nhất của hệ: x3 − y3 +6y2 −3x −9y + 2 = 0  x3 −3x + 2 = y3 −6y2 +9y  (x + 2)(x −1)2 = y(y −3)2  (x−1)+3(x−1)2 = ( y −3)+3( y −3)2 . Xét hàm số f (t )= (t +3)t2 = t3 +3t2 trên −2;0. Đạo hàm: f `(t )= 3t2 + 6t = 3t(t + 2). Ta có: f `(t )= 0 t = 0  t = −2. Vậy trên đoạn −2;0, hàm số f (t ) đơn điệu. Vậy, phương trình thứ nhất của hệ tương đương với x −1= y −3  y = x +2. Hồ Văn Diên – THPT Thái Lão – Tài liệu về hệ phương trình Trang 5 ... - --nqh--